249. Rovnomerná konvergencia postupnosti funkcií

Zhrnutie prednášky

Bodová konvergencia nezachováva vlastnosti funkcií, napríklad spojitosť, preto sa zavádza rovnomerná konvergencia. Jej definícia presúva kvantifikátor „pre každé x z M“ dovnútra, takže index N0 závisí len od ε a nie od bodu x; z rovnomernej konvergencie preto vždy vyplýva bodová. Rovnomernú konvergenciu možno overiť tak, že sa vypočíta bodová limita g a ukáže sa, že limita suprém |fₙ(x) − g(x)| na množine M je nulová. Na príklade fₙ(x) = (n+1+x)/(n+x) na [0,∞) vychádza supremum 1/n, a konvergencia k 1 je teda rovnomerná. Pri gₙ(x) = xⁿ − x²ⁿ na [0,1] je supremum aspoň 1/4 (pre x = (1/2)^{1/n}), takže konvergencia k nule rovnomerná nie je.

• - Bodová konvergencia nezachováva vlastnosti funkcií, napr. spojitosť limity.
• - Pri rovnomernej konvergencii N0 závisí len od ε, nie od x z množiny M.
• - Rovnomerná konvergencia implikuje bodovú, opačne to neplatí.
• - Kritérium: fₙ ⇉ g na M práve vtedy, keď lim sup_{x∈M} |fₙ(x) − g(x)| = 0.
• - Príklad (n+1+x)/(n+x) na [0,∞): supremum odchýlky od 1 je 1/n → 0, konvergencia je rovnomerná.
• - Príklad xⁿ − x²ⁿ na [0,1]: supremum je aspoň 1/4, preto konvergencia k 0 nie je rovnomerná.
• - Rovnomerná konvergencia zachováva napr. integrovateľnosť, no pri diferencovateľnosti už nestačí.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.