201. Riemannov integrál

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojem zjemnenia delenia intervalu a na jeho základe definuje Riemannov integrál. Delenie dy je jemnejšie ako dx, ak obsahuje všetky deliace body dx, prípadne aj ďalšie; nie každé dve delenia sú porovnateľné, no pre ľubovoľné dve existuje najmenšie spoločné zjemnenie dané zjednotením ich deliacich bodov. Pre ohraničenú funkciu f na intervale ⟨a, b⟩ je číslo S určitým integrálom, ak pre každé ε > 0 existuje delenie D0 také, že pre každé jemnejšie delenie D a ľubovoľný výber bodov je integrálny súčet od S vzdialený menej ako ε. Definícia je analogická definícii limity a zavádza sa aj zápis a terminológia: integračný obor, integrand a integrovateľnosť funkcie.

• - Delenie dy je zjemnením dx, ak každý deliaci bod dx je aj deliacim bodom dy.
• - Nie každé dve delenia sú porovnateľné podľa jemnosti.
• - Pre ľubovoľné dve delenia existuje najmenšie spoločné zjemnenie, ktoré vznikne zjednotením ich deliacich bodov.
• - Riemannov integrál sa definuje len pre ohraničené funkcie na intervale ⟨a, b⟩.
• - Číslo S je integrálom, ak pre každé ε existuje delenie D0, že pre každé jemnejšie delenie a ľubovoľný výber bodov platí |S(f, D, V) − S| < ε.
• - Definícia je analogická definícii limity, kde úlohu δ preberá delenie D0.
• - Interval ⟨a, b⟩ sa volá integračný obor, f je integrand a funkcia s určitým integrálom je integrovateľná.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.