259. Polomer konvergencie mocninového radu

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje dva spôsoby výpočtu polomeru konvergencie mocninového radu. Cauchyho–Hadamardova veta hovorí, že ak A = limsup n-tej odmocniny z |a_n| leží v intervale (0, ∞), polomer konvergencie je R = 1/A. Prípady A = ∞ (rad konverguje len v strede, R = 0) a A = 0 (rad konverguje na celom R, R = ∞) sú triviálne podprípady. Dôkaz využíva Cauchyho odmocninové kritérium: pre |x − a|·A < 1 rad konverguje, pre |x − a|·A > 1 diverguje. Druhá veta využíva d'Alembertovo kritérium: ak existuje limita |a_n|/|a_{n+1}|, rovná sa polomeru konvergencie, takže ju netreba ďalej invertovať. Dôkaz tejto vety je ponechaný ako cvičenie.

• - Polomer konvergencie mocninového radu možno počítať pomocou Cauchyho–Hadamardovho alebo d'Alembertovho kritéria.
• - Cauchy–Hadamard: ak A = limsup n-tej odmocniny z |a_n|, tak R = 1/A.
• - Ak A = ∞, rad konverguje iba v strede (R = 0); ak A = 0, konverguje na celom R (R = ∞).
• - Dôkaz používa Cauchyho kritérium: |x − a|·A < 1 znamená konvergenciu, |x − a|·A > 1 divergenciu.
• - D'Alembert: ak existuje limita |a_n|/|a_{n+1}|, je rovná polomeru konvergencie R (aj R = ∞).
• - Pri d'Alembertovom vzorci netreba brať prevrátenú hodnotu, pretože je už zahrnutá v podiele.
• - Dôkaz d'Alembertovej vety cez limitné d'Alembertovo kritérium je ponechaný ako cvičenie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.