111. Rozklad na parciálne zlomky - začiatok

Zhrnutie prednášky

Úvod k vete o rozklade racionálnej funkcie na parciálne zlomky, ktorá sa dokazuje pomocou dvoch lem. Lema 1 hovorí, že každý polynóm sa dá rozložiť na súčin koreňových činiteľov: reálnych lineárnych s násobnosťami a kvadratických nerozložiteľných trojčlenov so záporným diskriminantom. Vyplýva zo základnej vety algebry, ktorá sa nedokazuje, a postupným delením koreňovými činiteľmi. Lema 2 ukazuje, ako oddeliť jeden parciálny zlomok pri reálnom koreni menovateľa. Do čitateľa sa pripočíta a odpočíta člen A·R(x), zlomok sa rozdelí na dva a vhodnou voľbou konštanty A = P(a)/R(a) má zvyšný čitateľ koreň a, takže sa dá vykrátiť. Výsledkom je rýdzoracionálna funkcia s menovateľom nižšieho stupňa.

• - Veta o rozklade na parciálne zlomky: každá rýdzoracionálna funkcia je konečným súčtom parciálnych zlomkov.
• - Lema 1: polynóm sa rozkladá na koreňové činitele, reálne lineárne s násobnosťami a kvadratické trojčleny so záporným diskriminantom.
• - Lema 1 je dôsledkom základnej vety algebry, ktorá sa nedokazuje.
• - Lema 2: pri k-násobnom reálnom koreni a menovateľa sa oddelí zlomok A/(x−a)^k.
• - Trik v dôkaze: pripočítať a odpočítať v čitateli člen A·R(x) a zlomok rozdeliť na dva.
• - Konštanta sa volí A = P(a)/R(a), pričom R(a) ≠ 0, aby mal zvyšný čitateľ koreň a a dal sa vykrátiť činiteľom (x−a).
• - Po krátení vznikne rýdzoracionálna funkcia, kde stupeň čitateľa je menší ako stupeň menovateľa, a menovateľ má nižší stupeň.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.