222. Nekonečné rady

Zhrnutie prednášky

Úvod novej kapitoly zavádza nekonečné rady ako súčty nekonečného počtu sčítancov a upozorňuje, že pri nich neplatia vlastnosti známe z konečných súčtov: súčet nemusí existovať, môže závisieť od poradia členov a od uzátvorkovania. Rad 1 − 1 + 1 − 1 + … ukazuje, že rôzne uzátvorkovanie dáva rôzne výsledky (0 alebo 1). Preto sa súčet radu definuje exaktne ako limita postupnosti čiastočných súčtov sₙ = a₁ + … + aₙ; ak je konečná, rad konverguje, ak je ±∞, diverguje do ±∞, a ak limita neexistuje, rad osciluje. Ako prvý príklad sa rozoberá geometrický rad a·qⁿ⁻¹, ktorý konverguje práve vtedy, keď |q| < 1, a jeho súčet je a/(1 − q). Na záver sa začína druhý príklad s radom so členmi 1/(n(n+1)).

• - Nekonečný súčet nemusí mať súčet a nezávisí od uzátvorkovania ani poradia sčítancov, na rozdiel od konečného súčtu.
• - Čiastočný súčet sₙ = a₁ + … + aₙ; súčet radu je limita postupnosti (sₙ).
• - Rad konverguje, ak je limita sₙ konečná; diverguje do ±∞, ak je limita nevlastná; osciluje, ak limita neexistuje.
• - Rad 1 − 1 + 1 − 1 + … osciluje, jeho čiastočné súčty sa striedajú medzi 1 a 0.
• - Geometrický rad a·qⁿ⁻¹ konverguje práve vtedy, keď |q| < 1, a potom má súčet a/(1 − q).
• - Pre q = 1 geometrický rad diverguje do ±∞, pre q ≤ −1 osciluje a pre q > 1 diverguje do ±∞.
• - Súčet konečného geometrického radu sₙ = a(1 − qⁿ)/(1 − q) sa využíva na výpočet limity čiastočných súčtov.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.