106. Metóda substitúcie 2

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje druhú podobu metódy substitúcie, pri ktorej sa za pôvodnú premennú dosadzuje nová funkcia. Na príklade integrálu z odmocniny z 1 − x² sa použije substitúcia x = sin t pre t z intervalu (−π/2, π/2), čím zmizne odmocnina aj absolútna hodnota a integrand sa zmení na cos² t. Ten sa pomocou vzorca cos² t = ½(1 + cos 2t) a ďalšej substitúcie zintegruje a výsledok sa vráti k x cez inverznú funkciu arcsin. Výsledok ½·arcsin x + ½·x·√(1 − x²) + c sa hodí pri počítaní obsahu polkruhu. Následne je sformulovaná veta o substitúcii (prostá diferencovateľná funkcia zobrazujúca interval J na I) a začína sa jej dôkaz využitím inverznej funkcie a derivovania zloženej funkcie.

• - Substitúcia x = sin t odstráni odmocninu z 1 − x², pretože 1 − sin² t = cos² t.
• - Interval t ∈ (−π/2, π/2) zaručuje, že sinus je prostý a kosínus nezáporný, takže absolútnu hodnotu možno vynechať.
• - Integrál cos² t sa rieši vzorcom cos² t = ½(1 + cos 2t) a pomocnou substitúciou a = 2t.
• - Návrat k pôvodnej premennej používa inverznú funkciu t = arcsin x a vzorec sin 2α = 2 sin α cos α.
• - Výsledok je ½·arcsin x + ½·x·√(1 − x²) + c a použije sa pri výpočte obsahu polkruhu.
• - Veta o substitúcii vyžaduje spojitú f a prostú diferencovateľnú x zobrazujúcu interval J na interval I.
• - Dôkaz využíva existenciu diferencovateľnej inverznej funkcie a derivovanie zloženej funkcie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.