235. Absolútna a relatívna konvergencia radu

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojmy absolútnej a relatívnej konvergencie číselných radov. Rad sa nazýva absolútne konvergentný, ak konverguje rad jeho absolútnych hodnôt, a relatívne konvergentný, ak konverguje sám, ale rad absolútnych hodnôt diverguje. Pri relatívnej konvergencii divergujú oba rady kladných a záporných častí a_n^+ aj a_n^−, pričom konvergencia vzniká ich vzájomným odčítaním; to sa využije pri Riemannovej vete. Následne sa dokazuje majorantné kritérium (veta 13): ak od istého indexu platí |a_n| ≤ b_n a rad b_n konverguje, rad a_n konverguje absolútne. Na príklade sa ukazuje, že rad cos(nx)/n² absolútne konverguje pre každé reálne x, keďže |cos(nx)| ≤ 1 a rad 1/n² konverguje.

• - Absolútna konvergencia: konverguje rad absolútnych hodnôt |a_n|.
• - Relatívna konvergencia: rad a_n konverguje, ale rad |a_n| diverguje.
• - Príklady: (−1)^n/n² konverguje absolútne, kým alternujúci harmonický rad konverguje len relatívne.
• - Pri relatívnej konvergencii divergujú oba rady a_n^+ aj a_n^−; využije sa to pri Riemannovej vete.
• - Majorantné kritérium (veta 13): z |a_n| ≤ b_n od istého indexu a konvergencie Σb_n vyplýva absolútna konvergencia Σa_n.
• - Dôkaz využíva porovnávacie kritérium pre nezáporné rady a vetu, že z konvergencie |a_n| plynie konvergencia a_n.
• - Rad cos(nx)/n² absolútne konverguje pre každé reálne x, majorantou je 1/n².

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.