107. Príklady na metódu substitúcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška precvičuje integrovanie metódou substitúcie na troch príkladoch. V prvom sa integrál 1/(√x·(1+x)) rieši substitúciou x = t² (t > 0), čo vedie k 2·arctg √x + C. V druhom sa pre nenulovú konštantu a využíva „rakúska“ substitúcia x = a·t, vďaka ktorej vznikne integrál 1/(1+t²) a výsledok (1/a)·arctg(x/a) + C. Tretí príklad, 1/(x·√(x²−1)), sa rieši substitúciou x = 1/sin t osobitne na intervaloch (1, ∞) a (−∞, −1), pričom sa dôsledne sleduje znamienko sin t pri vyberaní pod odmocninu. Výsledky pre oba intervaly sa nakoniec zjednotia pomocou absolútnej hodnoty do jedného vzorca s arcsin(1/|x|).

• - Pri integráli s √x sa používa substitúcia x = t² s t > 0, aby bola prostá a √(t²) = t.
• - Výsledok prvého príkladu: 2·arctg √x + C.
• - Substitúcia x = a·t umožní vyňať a² v menovateli a získať tabuľkový integrál 1/(1+t²); výsledok (1/a)·arctg(x/a) + C pre a ≠ 0.
• - Pri 1/(x·√(x²−1)) je nutné najprv určiť definičný obor: (−∞, −1) ∪ (1, ∞), a riešiť na každom intervale zvlášť.
• - Substitúcia x = 1/sin t s t ∈ (0, π/2) dáva −arcsin(1/x) + C pre x > 1; pre t ∈ (−π/2, 0) vychádza opačné znamienko.
• - Pri vyberaní výrazu pod odmocninu treba dávať pozor na znamienko: záporné číslo nechá mínus von.
• - Obe riešenia sa zapíšu jedným vzorcom −arcsin(1/|x|) + C, kde C je po intervaloch (schodovitá) konštanta.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.