207. Triedy integrovateľných funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje dve vety o triedach integrovateľných funkcií pomocou kritéria celkovej oscilácie: stačí ukázať, že pre každé ε > 0 existuje delenie s celkovou osciláciou menšou ako ε. Spojitá funkcia na kompaktnom intervale [a, b] je rovnomerne spojitá, a preto pre ε/(b − a) existuje δ, pri ktorej má každý deliaci interval s normou menšou ako δ osciláciu najviac ε/(b − a). Súčet oscilácií vážených dĺžkami intervalov tak dá najviac ε. Pri monotónnej funkcii (napr. nerastúcej, nekonštantnej) sa zvolí δ = ε/(f(a) − f(b)); supremum a infimum sú v krajných bodoch deliacich intervalov, takže súčet rozdielov sa teleskopicky zredukuje na f(a) − f(b) a celková oscilácia je menšia ako ε. Konštantný prípad je spojitý, preto ho pokrýva predchádzajúca veta.

• - Kritérium integrovateľnosti: pre každé ε > 0 existuje delenie s celkovou osciláciou menšou ako ε.
• - Spojitá funkcia na kompaktnom intervale [a, b] je rovnomerne spojitá, a teda integrovateľná.
• - V dôkaze pre spojité funkcie sa použije ε/(b − a), takže súčet vyjde presne ε.
• - Monotónna funkcia je integrovateľná aj s bodmi nespojitosti (skokmi).
• - Pri nerastúcej funkcii sú supremum a infimum na deliacom intervale v jeho krajných bodoch.
• - Voľba δ = ε/(f(a) − f(b)) a teleskopický súčet dajú celkovú osciláciu menšiu ako ε.
• - Konštantná monotónna funkcia je spojitá, takže ju pokrýva veta o spojitých funkciách.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.