203. Integrovateľnosť 1

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje vlastnostiam horných a dolných integrálnych súčtov ohraničenej funkcie na intervale ⟨a,b⟩, ktoré sú nevyhnutným základom pre skúmanie integrovateľnosti. Veta má tri časti: zjemnením delenia sa dolný súčet nezmenšuje a horný sa nezväčšuje; ľubovoľný dolný súčet je menší alebo rovný ľubovoľnému hornému, aj pri nesúvisiacich deleniach; a Košiho integrálne súčty sa dajú vhodným výberom bodov priblížiť k hornému a dolnému súčtu ľubovoľne blízko. Prvá časť sa opiera o monotónnosť suprema a infima vzhľadom na množinu, druhá o spoločné zjemnenie delení a tretia o vlastnosť suprema, pričom body s hodnotou blízkou supremu tvoria hľadaný výber. Na záver je uvedená aj geometrická interpretácia pomocou obdĺžnikov.

• - Predpokladom Newton-Leibnizovej vety je integrovateľnosť funkcie; funkcia je vždy ohraničená na ⟨a,b⟩.
• - Zjemnením delenia dolný integrálny súčet rastie (nemenší sa) a horný klesá (nezväčšuje sa).
• - Pre ľubovoľné delenia D1 a D2 platí, že dolný súčet pri D1 je ≤ horný súčet pri D2.
• - Dôkaz druhej časti využíva spoločné zjemnenie delení D1 a D2 a prvú časť vety.
• - Pre každé ε > 0 existujú výbery bodov, pri ktorých je Košiho integrálny súčet menší ako dolný súčet + ε, resp. väčší ako horný súčet − ε.
• - Dôkaz tretej časti: na každom deliacom intervale sa vyberie bod p_i s f(p_i) > M_i − ε/(b−a), nerovnosti sa vynásobia dĺžkou intervalu a sčítajú.
• - Geometricky ide o to, že obdĺžniky horného súčtu pokrývajú plochu pod grafom a obdĺžniky dolného súčtu sú v nej obsiahnuté.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.