227. D'Alembertovo kritérium

Zhrnutie prednášky

D'Alembertovo kritérium je tretie kritérium konvergencie radov s kladnými členmi, ktoré na rozdiel od porovnávacieho nevyžaduje hľadanie pomocného radu, stačí skúmať podiel a_{n+1}/a_n. Ak limes superior tohto podielu je menší ako 1, rad konverguje; ak od istého indexu platí a_{n+1}/a_n ≥ 1, rad diverguje. Tieto podmienky nepokrývajú všetky prípady, napríklad limita rovná 1 nič nevraví, ako ukazujú rady 1/n (diverguje) a 1/n² (konverguje). Dôkaz konvergencie využíva číslo q medzi limes superior a 1, od istého indexu platí a_{n+k} ≤ q^k·a_n, a preto sa rad odhadne geometrickým radom. Divergencia plynie z toho, že postupnosť nemôže mať limitu nula, čím nie je splnená nutná podmienka konvergencie.

• - D'Alembertovo kritérium pracuje s podielom a_{n+1}/a_n pre rady s kladnými členmi a nevyžaduje pomocný rad.
• - Ak limes superior podielu je menší ako 1, rad konverguje.
• - Ak od indexu n0 platí a_{n+1}/a_n ≥ 1, rad diverguje, lebo a_n nekonverguje k nule.
• - Limitná verzia: limita k < 1 znamená konvergenciu, k > 1 divergenciu, k = 1 nerozhoduje (1/n aj 1/n² dávajú k = 1).
• - Dôkaz konvergencie: zvolí sa q medzi limes superior a 1, platí a_{n+k} ≤ q^k·a_n a použije sa porovnávacie kritérium s geometrickým radom.
• - Nestačí, aby boli všetky podiely menšie ako 1; musí byť menšia ako 1 aj limita (limes superior), ako ukazuje harmonický rad.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.