239. Dirichletovo kritérium

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje Dirichletovo kritérium ako zovšeobecnenie Leibnizovho kritéria pre rady s premenlivými znamienkami. Najprv sa dokazuje pomocná úloha: ak pre postupnosti platí b_n ≤ a_n ≤ c_n a rady Σb_n a Σc_n konvergujú, konverguje aj Σa_n (odčítaním b_n a použitím porovnávacieho kritéria pre nezáporné rady). Dirichletovo kritérium tvrdí, že ak je postupnosť čiastočných súčtov radu Σa_n ohraničená a postupnosť b_n je monotónna s limitou 0, rad Σa_n·b_n konverguje. Dôkaz využíva Abelovu sumáciu: členy a_n sa vyjadria cez rozdiely čiastočných súčtov T_n a rad sa prepíše na súčet teleskopického radu a člena T_n·b_n. Prvá časť konverguje vďaka ohraničenosti T_n a teleskopickému radu Σ(b_n − b_{n+1}), druhá konverguje k nule ako súčin ohraničenej postupnosti a nulovej postupnosti.

• - Dirichletovo kritérium zovšeobecňuje Leibnizovo: znamienka sa nemusia striedať po jednom.
• - Predpoklad 1: postupnosť čiastočných súčtov T_n radu Σa_n je ohraničená (nemusí konvergovať).
• - Predpoklad 2: postupnosť b_n je monotónna s limitou 0.
• - Záver: rad Σa_n·b_n konverguje.
• - Pomocná úloha 217 (veta o zovretí pre rady): ak b_n ≤ a_n ≤ c_n a Σb_n, Σc_n konvergujú, konverguje aj Σa_n.
• - Dôkaz používa Abelovu sumáciu: a_n = T_n − T_{n−1}, čím sa čiastočný súčet prepíše cez rozdiely b_n − b_{n+1}.
• - Teleskopický rad Σ(b_n − b_{n+1}) má súčet b_1, a zvyšný člen T_n·b_n ide k nule (ohraničená krát nulová postupnosť).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.