237. Leibnitzovo kritérium

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje Leibnizovo kritérium konvergencie radov so striedavými znamienkami. Ak je postupnosť a_n monotónna a jej limita je nula, rad súčtu (-1)^(n+1)·a_n konverguje. Dôkaz sa vedie cez podpostupnosti čiastočných súčtov s párnymi a nepárnymi indexami: párna je neklesajúca a zhora ohraničená, nepárna nerastúca a zdola ohraničená, a z podmienky a_n → 0 vyplýva, že majú rovnakú limitu. Z dôkazu vyplýva aj odhad zvyšku, |R_n| ≤ |a_{n+1}|. V príklade sa ukáže, že rad Σ(-1)^(n+1)/n^p konverguje pre každé p > 0, pričom pre p > 1 absolútne a pre 0 < p ≤ 1 už iba relatívne.

• - Leibnizovo kritérium: ak je a_n monotónna a lim a_n = 0, rad Σ(-1)^(n+1)·a_n konverguje.
• - Podmienka a_n → 0 je nutná a spolu s monotónnosťou už postačujúca pre striedavý rad.
• - Dôkaz: čiastočné súčty S_2n tvoria neklesajúcu postupnosť ohraničenú zhora číslom a_1, S_2n-1 nerastúcu ohraničenú zdola.
• - Obe podpostupnosti majú limitu a z a_n = S_2n − S_2n-1 → 0 vyplýva, že sa limity rovnajú, takže konverguje celá postupnosť S_n.
• - Odhad zvyšku: |R_n| ≤ |a_{n+1}|, teda chyba nie je väčšia ako prvý vynechaný člen.
• - Kritérium zaručuje len konvergenciu, nie jej typ (relatívna alebo absolútna).
• - Rad Σ(-1)^(n+1)/n^p konverguje pre každé p > 0: absolútne pre p > 1, relatívne pre 0 < p ≤ 1; pre p ≤ 0 nekonverguje, lebo členy nejdú k nule.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.