Diagnolizacia priklady+riesenia

Vzorové príklady s riešeniami k lineárnej algebre a geomet-

rie pre aplikovaných informatikov k písomke 23.5.2006

Príklad č.1 Riešte sústavu Bx = r ∽ (B|r)

(B|r) =











0

2

3

4

2

−1

3

0

4

6

8

0

−8

2

0

6

9

12

6

−3

9

0 −2 −3 −4 −2

1

−3

0

2

3

4

6

5

7

0

4

6

8

4

−2

6











−2I
−3I

+I
−I

−2I

=











0 2 3 4

2

−1

3

0 0 0 0 −4 −6 −4
0 0 0 0

0

6

0

0 0 0 0

0

0

0

0 0 0 0

4

6

4

0 0 0 0

0

0

0











: (−2)

+II

Riešenie: Úloha je na precvičenie riešenia tzv. singulárnej sústavy (det(B) = 0), čo už
síce máte vedieť riešiť, ale keďže to potrebujete pri hľadaní vlastných vektorov v ďalších
úlohách, tak to ešte raz uvedieme. Skutočnosť, že det(B) = 0 nemusíte alebo môžete
vedieť na začiatku, postup je rovnaký. To, že sa jedná o singulárnu sústavu zbadáte po
niekoľkých úpravách, keď na ľavej strane dostanete aspoň jeden riadok nulový V tomto
semestri sme už mali spomenutú nasledujúcu vetu:
V1:Veta o počte riešení lin. sústavy
Pre ľubovoľnú(=každú) pravú stranu r sústavy rovníc (=maticovej rovnice) Bx = r
má sústava práve jedno riešenie (t.j. existuje práve jeden vektor x, ktorý spĺňa rovnicu
Bx = r), práve vtedy keď det(B) 6= 0. Nemá žiadne riešenie alebo má nekonečne veľa
riešení práve vtedy keď det(B)=0.
Ak po úplnom zjednodušení matice ekvivalentnými úpravami ku každému nulovému riad-
ku na ľavej strane je príslušny element na pravej strane nulový, tak sústava má nekonečne
veľa riešení. Ak k nejakému nulovému riadku na ľavej strane prislúcha nenulový element
na pravej strane,tak sústava nemá riešenie. Naša sústava bude mať zrejme nekonečne
veľa riešení.Nulové riadky môžeme vynechať a sústavu prepísať takto:

0 2 3 4 0 −4 1

0 0 0 0 2

3

2

(1)

Ak (stĺpcovy) vektor riešenia x zapíšeme v zložkách ako x = (x

1

, x2, x3, x4, x5, x6)T tak sa

predošlím zápisom myslí toto:

0 2 3 4 0 −4

0 0 0 0 2

3











x1
x2
x3
x4
x5
x6











=

1

2

(2)

Teraz v každom (nenulovom) riadku nájdeme zľava prvý nenulový element a zistíme,
stĺpce v ktorom sa tieto prvé nenulové elementy nachádzajú. U nás sú to stĺpce 2 a 5.
Z toho usudíme, že elementy vektora x: x

2

a x

5

budú tzv. závislé parametre alebo

iný názov zviazané parametre. Zvyšné elementy vektora x: x

1

, x3, x4, x6 budú tzv.

nezávislé parametre alebo iný názov voľné parametre.
Ďalej prepíšeme sústavu do nematicového (stredoškolského) tvaru:

0x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 0x5 − 4x6 = 1

2x5 + 3x6 = 2

1

Teraz nám stačí vyjadriť z tohto tvaru zviazané parametre (x

2

, x5) pomocou voľných

parametrov (x

1

, x3, x4, x6):

x2 =

1
2

(1 − 3x3 − 4x4 − 4x6)

x5 =

1
2

(2 − 3x6)

To znamená že viem poskladať už celý vektor riešenia x len z voľných parametrov.
Zviazané parametre vo vektore nahradím predošlými vyjadreniami:

x =











x1
x2
x3
x4
x5
x6











=











x1

1

2 (1 − 0.x1 + 3x3 − 4x4 − 4x6)

x3
x4

1

2 (2 − 3x6)

x6











(3)

x =











0

1

2

0
0
1
0











+ x1











1
0
0
0
0
0











+ x3











0

3/2

1
0
0
0











+ x4











0

−2

0
1
0
0











+ x6











0

−2

0
0

−3/2

1











(4)

Pre každú štvoricu (x

1

, x3, x4, x6) voľných parametrov dostávame jedno riešenie x singu-

lárnej sústavy. Pre dve rôzne štvorice dostávame dve rôzne riešenia sústavy. Dostávame
teda nekonečne veľa riešení sústavy, pretože máme nekonečne veľa možností ako môžeme
vyberať štvoricu voľných parametrov. Toto riešenie môžeme zapísať pomocou tzv. line-
árneho obalu vektorov.
Definícia: Lineárny obal k vektorov {−

→

x1, −

→

x2, ..., −

→

xk} je množina obsahujúca nekonečne veľa

vektorov, značí sa takto [−

→

x1, −

→

x2, ..., −

→

xk] a je to množina všetkých lineárnych kombinácií

uvedených vektorov. Jedna lineárna kombinácia vektorov {x

1

, x2, x3} je napríklad vektor

−

→

x = 2−

→

x1 − 5−

→

x2 + 7−

→

x3. Formálne zapísaná definícia je teda: Ak príslušné vektory −

→

xi sú z

vektorového priestoru V potom lineárny obal je:
[−

→

x1, −

→

x2, ..., −

→

xk] = {−

→

x ∈ V, ∃{c1, c2, ..., ck} ∈ Rk, že −

→

x =

P

k
i=0 ci

−

→

xi }

Lineárny obal je vektorový/lineárny priestor. To znamená pre každé 2 vektory −

→

u1

a −

→

u2 v lineárnom obale −

→

u1, −

→

u2 ∈ [−

→

x1, −

→

x2, ..., −

→

xk] bude aj ich každá lineárna kombinácia

∀α, β ∈ R v tomto obale: α−

→

u1 + β−

→

u2 ∈ [x1, x2, ..., xk] Dimenzia lineárneho obalu je počet

lineárne nezávislých vektorov, uvedených v zápise tohto obalu. Ten istý lineárny obal sa
dá zapísať viacerými spôsobmi. Pozri koniec tohto príkladu:
Vráťme sa k zápisu riešenia sústavy pomocou lineárneho obalu.

x ∈











0

1

2

0
0
1
0











+





















1
0
0
0
0
0











,











0

3/2

1
0
0
0











,











0

−2

0
1
0
0











,











0

−2

0
0

−3/2

1





















(5)

Samozrejme, aby sme sa zbavili vo výsledku zlomkov, tak môžeme v lin. obale namiesto
vektorov brať aj ich ľubovoľné linárne kombinácie,(napr. aj násobky). Dostávame stále

2

rovnakú množinu riešení:

x ∈











0

1

2

0
0
1
0











+





















1
0
0
0
0
0











,











0
3
2
0
0
0











,











0

−2

0
1
0
0











,











0
4
0
0
3

−2





















(6)

Dostali sme teda riešenie v tvare −

→

x ∈ −

→

u + U,kde −

→

u je nejaký vektor(volá sa aditívny)

a U je lineárny obal nejakých vektorov (vektorový/lineárny priestor,množina vektorov).
Ak vektor −

→

u je nulový tak riešenia tvoria vektorový priestor. T.j. pre každé dve riešenia

−

→

x = −

→

v1 a −

→

x = −

→

v2 pôvodnej sústavy je aj ich každá lineárna kombinácia v3 = αv1 + βv2

tiež riešením pôvodnej sústavy, t.j. hovoríme,že vektorový priestor je uzavretý na line-
árne kombinácie. Dimenzia tohto priestoru je vždy menšia rovná ako je dimenzia celého
priestoru v ktorom pracujeme. U nás je dimenzia celého priestoru dim(B)=6 a dimenzia
vektorového priestoru riešení je daná počtom voľných parametrov (u nás je to 4). Ho-
voríme, že sme dostali vektorový/lineárny podpriestor riešení sústavy. Ak vektor

−

→

u 6=

−

→

0 je nenulový(čo je aj náš prípad) tak riešenia tvoria tzv. afinný podpriestor (t.j.

vektorový priestor posunutý o nenulový aditívny vektor −

→

u ) Pre afinný (pod)priestor ne-

platí, že lineárna kombinácia vektorov z afinného (pod)priestoru je vektor z toho istého
afinného (pod)priestoru. (Hovoríme,že afinný (pod)priestor nie je uzavretý na lineárne
kombinácie.) Pre sústavu rovníc s pravou stranou r=0 dostávame vždy lineárny podpries-
tor riešení. Spolu lineárny podpriestor riešení a afinný podpriestor riešení označujeme len
ako podpriestor riešení. Z každého nenulového riadku sme mali jeden závislý parame-
ter. Zvyšené parametre boli nezávislé (voľné). Dimenzia podpriestoru riešení (čo je počet
voľných parametrov, u nás 4) je rovná dimenzii celého priestoru (u nás 6) mínus počet
nenulových riadkov matice A po úprave(teda hodnosť matice A, u nás 2).Teda dimenziu
podpriestoru riešení viete už pomerne skoro na začiatku riešenia.
Keď dvaja rôzní ľudia riešia (singulárnu) sústavu (alebo neskôr aj diagonalizačnú úlohu)
, môže sa stať, že pri viacrozmerných podpriestoroch budú mať každý iné vektory v zápise
lin. obalu (a budú to nielen nenulové násobky). Napr. Jednému výjde riešenie nejakej
sústavy









1

−2

0





,





1
0
2









(7)

a druhému









1
0
2





,





1

−1

1









(8)

Netreba sa tým nechať zmiasť, stále ešte môžu mať všetci vyriešenú úlohu správne , pre-
tože podpriestor sa dá zapísať rôznými spôsobmi. To je dobre mať na pamäti napríklad
aj vtedy, keď si kontrolujete svoje výsledky s výstupmi týchto úloh riešenými na počítači.
(Napr. Ten druhý podpriestor je rovnaký ako ten prvý, pretože má jeden vektor totožný a
druhý vektor vznikol ako aritmetický priemer oboch vektor v prvom zápise.) Napríklad ak
pre n=2 v trojrozmernom priestore máte 2 vektory určujúce rovinu prechádzajúcu počiat-
kom

−

→

0 (t.j. je to lineárny podpriestor) a potom ich zrotujete v tejto rovine o rovnaký uhol

rovnakým smerom. Dostanete inú dvojicu vektorov ležiacu v tej iste rovine. Obe dvojice
vektorov vám určujú tú istú rovinu. V oboch prípadoch ich lineárny obal generuje tu istú
rovinu prechádzajúcu počiatkom alebo ten istý dvojrozmerný podpriestor trojrozmerného
priestoru. Jednoducho platí, že ten istý podpriestor k-rozmerný podpriestor n-rozmerného

3

priestoru (0<k<=n) viete generovať viacerými n-ticami vektorov. Pravidlo je jednoduché:
Ak nahradíte ľubovoľný(=každý) vektor v lineárnom obale lineárnou kombiná-
ciu všetkých vektorov v lin. obale (s podmienkou, že koeficient pri pôvodnom
vektore je nenulový), tak sa vám generovaný podpriestor nemení. Napr. nahra-
díme druhý vektor:

[−

→

x1, −

→

x2 . . . −

→

xk] = [−

→

x1,

k

X

i=1

ci−

→

xi , . . . −

→

xk], c2 6= 0

(9)

.To môžete opakovať zakaždým pre iný vektor.Všimnite si dôležitý špeciálny prípad, keď
všetky c

i = 0 okrem c2 6= 0.

Príklad č. 2

A =





3 −1 −2
0

2

0

4 −1 −3





.

(10)

• Riešte tzv. "vlastný problém"matice A. Teda inak povedané nájdite všetky vlastné

čísla matice A (t.j. spektrum matice A) a k nim prislúchajúce vlastné vektory
prípadne podpriestory.

• Rôzne ale ekvivalentné formulácie tej istej úlohy: Diagonalizujte maticu A. Pre

maticu A nájdite čo najjednoduchšiu (t.j. je diagonálnu alebo ,takú ,ktorá sa najviac
podobá na diagonálnu.) podobnú maticu J a maticu podobnosti P. Nájdite tzv.
Jordanov rozklad matice A = P JP −1.(názov Jordanov je z príkladu č.5) Nájdite
vlastný rozklad matice A. Pre maticu A nejakého lineárneho zobrazenia f v nejakej
(starej) báze nájdite maticu prechodu P do novej bázy a maticu J zobrazenia f v
novej báze, tak aby matica J bola čo najjednoduchšia. (Pozri aj príklad 3, pre
presnejšie vysvetlenie)

• Za použitia predošlých výsledkov nájdite rýchlo determinant matice A.

Riešenie:
(Google keywords:mathworld,eigenproblem,eigenvalue,eigenvector,eigen decomposition,Jordan
decomposition)
http://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html,
http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html,
http://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html
http://mathworld.wolfram.com/JordanMatrixDecomposition.html
(pozrite si: http://distance-ed.math.tamu.edu/Math640/chapter5/node4.html)
Vlastný problém je

A−

→

vi = λi−

→

vi

(11)

, kde index i čísluje nejaký vlastný vektor −

→

vi z množiny viacerých možných a λi je k tomu-

to vlastnému vektoru príslušné vlastné číslo.(−

→

vi , teda neznamená i-tá zložka vektora −

→

v )

(Prečo,Načo,Ako?:Vo všeobecnosti zobrazenie f : v → A.v alebo f(v) = A.v najčastejšie
(pri náhodnom výbere vektora v) priradí nejakému vektoru v vektor u=Av, taký, že v ∦ u
(sú rôznobežné), v špeciálnych prípadoch (=menej častých prípadoch pri náhodnom výbe-
re) môže nastať, že sú rovnobežné v k u, teda v k Av, takýto špeciálny vektor v nazývame
vlastný vektor (eigenvector). Posledná rovnobežnosť sa zvyčajne zapisuje v tvare Av = λv.,
kde λ sa nazýva vlastné číslo(eigenvalue). Úloha hľadania vlastných čísel a vl. vektorov
sa nazýva vlastný problém(eigenproblem). Ďalej táto úloha sa vyskytuje v geometrii a
v počitačovej v grafike pri hľadaní osí všeobecných kúžeľosečiek(elipsa,parabola,hyperbola)
v rovine alebo kvadrík (elipsoid,paraboloid,hyperboloid) v priestore. Ďalej sa vl. vekto-
ry môžu použiť pri tzv. "stratovej"kompresií grafických dát. Vo fyzike majú vl. vektory

4

absolútne kľúčový význam. Takže zaujímame sa práve o tie menej časté (pri náhodnom
výbere), ale zato významné vektory. Množina vlastných čísel sa nazýva spektrum matice
σ(A). Vlastných čísel je vždy menej alebo rovnako ako je dimenzia matice. Teda v našom
prípade budú najviac 3. Ku každej matici (komplexnej alebo reálnej) existuje aspoň jedno
vlastné číslo (prinajmenšom komplexné). Ku každému vlastnému číslu príslúcha aspoň
jeden vlastný vektor. Ku každému vlastnému vektoru prislúcha práve jedno vlastné
číslo. Všetky vlastné čísla každej reálnej symetrickej matice (dokonca aj každej tzv her-
mitovej) sú reálne (nie sú komplexné, imaginárnu zložku majú nulovú) a vlastné vektory,
ktoré prislúchajú rôznym (reálnym) vlastným číslam sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Hľadanie vlastných čísel
Nech I je jednotková štvorcová matica (jednotky na diagonále,inde nuly) rovnakého roz-
meru ako A. (Vieme, že pre každý vektor v: v.I = I.v = v,overte si to. Ďalej pre každé
číslo c (komplexné,reálne) c.A=A.c) Tak môžeme prepísať pravú stranu rovnice (11) :
Av = I.λv, ďalej prehodíme pravú stranu na ľavú a vytiahneme v ZA súčin. (pozor
Av 6= vA,pretože vektor je tiež matica, a pre matice sme mali tiež AB 6= BA,musíme
preto vyťahovať spoločný vektor za a nie pred.)

(A − λi.I)vi = 0

(12)

Využijeme vetu V1 z 1. úlohy: V našom prípade B = (A − λ

i.I ),v = x a b = 0 je

nulový vektor, ale veta stále platí. Navyše každá sústava Bx = 0 (aj naša Bv = 0),má
vďaka nulovej pravej strane jedno tzv. triviálne riešenie a to x = 0 nulový vektor. Áno
je to tak, nulový vektor v

i v rovniciach (11) a (12) triviálne spĺňa rovnicu pre každé λi.

My sa zaujímame o nenulové vektory (tzv. netriviálne riešenie), ktoré to tiež spĺňaju.
Každopádne aj nulové riešenie je riešenie v predošlej vete. Keďže chceme ešte nejaké
riešenie,tak chceme/musíme mať aspoň 2 riešenia. Keďže predošla veta, prípúšťa len
možnosti (žiadne riešenie,jedno riešenie a nekonečne veľa riešení), to znamená, že my
musíme mať nekonečne veľa riešení (ak chceme mať aspoň 2 riešenia, teda aspoň jedno
netriviálne riešenie.) O takomto počte riešení veta hovorí, že je to práve vtedy keď
det(B)=0.
Teda aspoň jeden netriviálny(nenulový) vlastný vektor v

i budeme mať práve vtedy keď

(⇔)

det(A − λi.I) = 0

(13)

Polynóm n-tého stupňa (n = dim(A),v našom prípade n=3)

χA(λ) = det(A − λi.I)

(14)

sa nazýva charakteristický polynóm (charakteristická funkcia) matice A. Rovnica (13)
nám udáva zároveň nutnú a postačujúcu podmienku pre nájdenie vlastných čísel λ

i. To

využijeme. Vidíme,že koreňe charakteristického polynómu sú vlastné čísla.
Takže vlastné čísla matice A hľadáme ako koreňe charakteristického polynó-
mu χA(λ) akýmkoľvek známym spôsobom na hľadanie koreňov, kde zároveň charak-

teristický polynóm hľadáme akýmkoľvek známym spôsobom na hľadanie determinantu
matice(úprava na trojuholníkový tvar a súčin diagonálnych členov alebo výroba nul ek-
vivalentnými úpravami v nejakom riadku/stĺpci a rozvoj determinantu podľa toho istého
riadku alebo pre n=3 kramerovo pravidlo.) V našom prípade si všimnime, že 2.riadok má
nejako moc núl, čo je fajn. Rozvinme podľa neho.

χA(λ) = det(A − λ.I) = det





3 − λ

−1

−2

0

2 − λ

0

4

−1

−3 − λ





= (2 − λ)det

3 − λ

−2

4

−3 − λ

5

χA(λ) = (2 − λ)[(3 − λ)(−3 − λ) + 8)] = (2 − λ)(λ

2 − 9 + 8) = (2 − λ)(λ − 1)(λ + 1)

Hneď vidíme všetky korene charakteristického polynómu, teda máme všetky vlastné čísla.
Máme teda spektrum matice

σ(A) = {−1, 1, 2}

(15)

. Je dôležité si všimnúť aj násobnosť koreňov ch. polynómu. Tu uvažujeme len jednoná-
sobné korene. Odlišnosti pre viacnásobné korene sú rozobrané v príklade 4. Komplikáci-
ou pri určovaní determinantu, je to, že tam máme parameter λ a všetky doteraz naučené
postupy pre determinant matice bez parametra sa tu nedajú použiť jednoduchým spôsobom.
V prípade dim(A) = 2 by ste rátali polynóm vždy priamo. V prípade dim(A) = 3 ak vidíte
nejaký riadok alebo stĺpec s dvoma nulami tak rozviniete podľa daného riadku/stĺpca. Inak
ak poznáte kramerové pravidlo použijete to. Pre dim(A) >= 3 si vyberiete riadok alebo
stĺpec s najväčším počtom nulových elementov. Ak je tam dva a viac nenulových nedia-
gonálnych elementov, tak podľa jedného nediagonálneho nenulového elementu(kt. nemá
λ) a použitím elementárnych úprav pre determinanty "vyrobíte"nuly v zvyšných miestach
(okrem diagonálneho) daného stĺpca/riadku. Rozviniete podľa daného riadka/stĺpca. Do-
stanete výraz s 2 determinantmi s menšou dimenziou. Pri hľadaní koreňov: Polynóm
nepárneho stupňa (napr. pre dim(A)=3) pre ľubovoľnú maticu (aj nesymetrickú) má vždy
aspoň jeden reálny koreň (viď základná veta algebry.), ch. polynóm symetrickej matice má
len reálne korene. Môžeme hádať korene.(postupne z množiny 0,1,-1,2,-2) Ak uhádnete 1
koreň napr. λ

1

= 7, tak môžete znížiť stupeň polynómu o 1 algoritmom "delenie polynómu

polynómom"(ako,to tu už nebudem písať) ,čo uľahčí ďalšie hľadanie koreňov.
(Nepovinné,len pre labužníkov)Je ešte jeden postup, ako sa dá vyhnúť rátaniu determi-
nantu s parametrom λ, aj keď na úkor toho, že rátame jednu sústavu navyše a rátame
viac číselnych (bezparametrických) determinantov. Viete že stupeň charakteristického po-
lynómu je rovnaký ako dimenzia matice. Napr. pre n=3 predpokladáte jeho tvar s tzv
"neurčitými koeficientami". χ(λ) = (−1)3λ3 + aλ2 + bλ + c Do matice B = A − λ.I
dosadíme postupne tri rôzne hodnoty λ (napr. 0,1,-1) a dostaneme tri rôzne matice, ktoré
sú už bez parametra a teda vieme rátať ich determinant známymi postupmi. Hľadáme
a nájdeme teda tri determinanty, čo je hodnota charakteristického polynómu (ktorý ešte
nepoznáme) pre tri rôzne hodnoty λ. Potom dosadíme postupne rovnaké hodnoty do ch.
polynómu s neurčitými koeficientami a porovnáme. Dostaneme bezparametrickú lineárnu
sústavu troch rovníc pre neznáme premenné a,b,c,ktorú vyriešíme a tým určíme aj celý
ch. polynóm. Je jasné, že tento postup sa hodí len pre väčšie dimenzie a najmä pre
automatické rátanie na počítači. Korene ch. polynómu hľadáme ako už bolo spomenuté
vyššie.)
Hľadanie vlastných vektorov Máme už spektrum σ(A) = {−1, 1, 2}. Postupne pre
všetky vlastné čísla zo spektra λ

i riešime už skôr uvedenú rovnicu (12):

Bi.vi = (A − λi.I)vi = 0 ako maticovú rovnicu (lineárnu sústavu) pre neznámy nenulový

vektor v

i. (Všimnite si nulovú pravú stranu sústavy.)

Pre λ

1

= −1

B1 = A − λ.I = A + I =





4 −1 −2
0

3

0

4 −1 −2





Podľa (13) determinant tejto matice je hodnota ch. polynómu v bode -1: χ(−1) =
det(B1), ale -1 sme dostali ako koreň ch. polynómu, takže det(B1) = χ(−1) = 0. Matica
B1 je teda singulárna a sústava má podľa vety V1 z 1. príkladu nekonečne veľa riešení.
(žiadne riešenie nemôže mať, lebo vidíte,že nulový vektor je určite riešenie, to sme už
spomínali.)
Podľa príkladu 1 riešime sústavu typu Bv = r, kde det(B) = 0 s nulovou pravou stranou
r=0. Z 1. príkladu vieme že máme dostať (lineárny,nie afinný) podpriestor riešení.(pozri

6

1. príklad pre definíciu tohto pojmu)

B1v1 = 0 ∽





4 −1 −2 0
0

3

0

0

4 −1 −2 0





∽ B

′

1 =





2 0 −1 0
0 1

0

0

0 0

0

0





Všimnime si, že pravá strana rovnice bude po každej úprave nulová a nemusíme ju písať.
Ak predpokladáme vlastný vektor v tvare v

1

= (r, s, t) tak podľa príkladu 1 bude voľný

parameter t a nematicový (stredoškolský) tvar sústavy je 2r − t = 0, 1.s + 0.t = 0. Pre-
píšeme závisle parametre r,s pomocou voľného parametra t: r = t/2, s = 0t. a dosadíme
do vlastného vektora
v1 = (r, s, t) = (t/2, 0t, t)T = t(1/2, 0, 1)T , kde t je nezávislý (voľný) parameter. Pod-
priestor riešení sústavy B

1

v1 = 0 je [(1, 0, 2)T ]. teda v1 ∈ [(1/2, 0, 1)T ] = [(1, 0, 2)T ]

(Vlastný vektor je určený až na násobiacu konštantu. S každým vlastným vektorom je aj
jeho nenulový násobok vlastným vektorom, ktorý prislúcha tomu istému vlastnému číslu.)
Podpriestor [(1, 0, 2)T ] riešení sústavy(definovaný v príklade 1) B

1

v1 = 0 sa v kontexte

hľadania vlastných vektorov nazýva vlastný podpriestor. Keďže sme tu mali len jeden
voľný parameter t, tak dimenzia podpriestoru riešení je jedna a hovoríme o jednorozmer-
nom vlastnom podpriestore. Viacrozmerné vlastné podpriestory sa vyskytujú v príklade
4. Správne teda hľadáme vlastné podpriestory a nie vlastné vektory. Pri nájdení jedno-
rozmerných vlastných podpriestorov, sa hovorí často nepresne len o nájdených vlastných
vektoroch.
Vlastnému číslu λ1 = −1 prislúcha jednorozmerný vlastný podpriestor

[(1, 0, 2)

T ]

(16)

Pre λ

2

= 1 dostávame maticu

B2 = A − λ2.I = A − I =





2 −1 −2
0

1

0

4 −1 −4





∽ B

′

2 =





1 0 −1
0 1

0

0 0

0





Zapíšeme hľadané riešenie po zložkách takto v

2

= (r, s, t) a prepišeme sústavu B′

2 v2 = 0

do nematicového tvaru: r − t = 0, s = 0, ak vezmeme t ako voľný parameter, tak
v2 = (t, 0, t) = t(1, 0, 1)
Vlastnému číslu λ2 = 1 prislúcha jednorozmerný vlastný podpriestor

[(1, 0, 1)

T ]

(17)

Pre λ

3

= 2 dostávame maticu

B3 = A − λ3.I = A − 2I =





1 −1 −2
0

0

0

4 −1 −5





∽ B

′

3 =





1 0 −1
0 1

1

0 0

0





Znova zapíšeme hľadané riešenie po zložkách takto v

3

= (r, s, t) a sústavu B′

3v3

= 0

prepíšeme na nematicový tvar: r − t = 0, s + t = 0, znova t ako voľný parameter, a
dostávame v

3

= (t, −t, t) = t(1, −1, 1)

Vlastnému číslu λ3 = 2 prislúcha jednorozmerný vlastný podpriestor

[(1, −1, 1)

T ]

(18)

7

b) (Diagonalizácia)Máme nájsť diagonálny (vo všeobecnosti Jordanov) rozklad matice A.
Definícia podobnosti:Hovoríme,že 2 matice A,B sú podobné práve vtedy keď existuje taká
regulárna (det(P ) 6= 0) matica P, že A = P BP −1 Diagonalizácia sa nazýva hľadanie takej
regulárnej matice P a takej podobnej diagonálnej matice D,že A = P DP −1. (Pre všeobecnú
nesymetrickú maticu sa to nemusí dať takto rozložiť, pozri príklad č. 5.). Hovoríme, o
diagonálnom rozklade matice A, alebo o vlastnom rozklade matice A alebo najvšeobecnejšie,
že je to špeciálny prípad tzv. Jordanovho rozkladu. (pozri príklad. č. 5).
Na určenie P využijeme nájdené vlastné vektory. Označme diagonálnu maticu utvorenú
z vlastných čísel matice A ako D = diag(λ

1

, λ2, λ3) = diag(−1, 1, 2) a maticu utvorenú v

zodpovedajúcom poradí z vlastných vektorov

P = (v1, v2, v3) =





1 1

1

0 0 −1
2 1

1





(19)

Potom

AP = A.(v1, v2, v3) = (Av1, Av2, Av3) = (λ1v1, λ2v2, λ3v3) = (v1, v2, v3).D = P D

(20)

Z toho A = P DP −1, čo je diagonálny rozklad matice A, čo je špeciálny prípad tzv.
Jordanovho rozkladu, pozri príklad č. 5. Stačí nám teda nájsť ešte inverznú maticu.

P −

1 =





−1

0

1

2

1

−1

0

−1

0





(21)

Teda máme rozklad:

A =





3 −1 −2
0

2

0

4 −1 −3





=





1 1

1

0 0 −1
2 1

1









−1 0 0

0

1 0

0

0 2









−1

0

1

2

1

−1

0

−1

0





(22)

Rozklad nie je jednoznačný (nie je len jeden): diagonálna matica, môže mať prehodené
elementy. Matica P (tá zľava od diagonálnej) bude mať potom prehodené príslušné stĺpce
a matica P −1 bude mať prehodené príslušné riadky:

A =





3 −1 −2
0

2

0

4 −1 −3





=





1

1

1

0 −1 0
2

1

1









−1 0 0

0

2 0

0

0 1









−1

0

1

0

−1

0

2

1

−1





(23)

Okrem toho je tam ešte jedná voľnosť na rozklad, ktorá súvisí s tým, že každý stĺpec
matice P (je to vlastný vektor) môže sa nahradiť nejakým jeho nenulovým c násobkom,
potom príslušný riadok inverznej matice sa musí nahradiť (1/c) násobkom.
c) Máme nájsť šikovne determinant matice A za použitia predošlých výsledkov. Ve-
ta:Determinanty podobných matíc sú rovnaké:

det(A) = det(P BP −

1) = det(P )det(B)det(P −1) = det(P ).det(B).(1/det(P )) = det(B)

(24)

Ak vezmeme za B nájdenu podobnú diagonálnu maticu D a uvedomíme si že determi-
nant každej diagonálnej alebo trojuholníkovej matice je súčin diagonálnych elementov tak
máme det(A) = (−1).2.1 = −2 Všimnite si, že to môžeme urobiť ešte pred tým ako hľa-
dáme vlastné vektory, hneď po nájdení všetkých vlastných čísel.(teda pri známom spektre
matice A).

8

Príklad č. 3 (Príklad je dobrý aj na ozrejmenie si základných pojmov) Nech je daný ľubovoľný vek-

torový priestor V s ľubovoľnou dimenziou n=dim(V) a s ľubovoľnou bázou {−

→

ei } =

{−

→

e1 , −

→

e2 , . . . −

→

en} Nech v tejto báze je lineárne zobrazenie f : V → V (−

→

y = f (−

→

x )) dané

maticou zobrazenia A.(Vezmime pre konkrétnosť n=3 a maticu A z príkladu 2.) Nájdite
takú inú bázu {

−

→

fi } vektorového priestoru V, v ktorej má matica J zobrazenia f najjed-

noduchší tvar (t.j. je diagonálna alebo najviac podobná diagonálnej.).Nájdite aj maticu
J zobrazenia f v novej báze {

−

→

fi }.

Riešenie:Stručná odpoveď: V báze {−

→

vi } svojích vlastných vektorov (−

→

vi k f (−

→

vi ))

má ľubovoľné(=každé) zobrazenie f : V → V najjednoduchšie maticové vy-
jadrenie.
Teda z tej stučnej odpovede vidíme, že zmena matice zobrazenia pri zmene bázy je tiež
ekvivalentná s diagonalizáciou a hľadaním vlastných čísel a vlastných vektorov.(Je však
treba dávať pozor na smer transformácie P,Q, premyslieť si to a nepomýliť sa.)
Detailne prečo: Keď budete mať takto zadaný príklad na písomke alebo skúške ako je
tento, tak budete robiť presne to isté čo je robené v príklade 2 (plus malú časť na samom
konci tohto príkladu) a nie to čo obšírne nasleduje. To čo nasleduje je len vysvetlenie
toho, prečo môžeme robiť to, čo je príklade 2.
Matica A zobrazenia f udáva vzťah y

i =

P

j Ai,j xj medzi súradnicami {xi}, {yi} rôznych

vektorov −

→

x =

P

i xi.

−

→

ei a −

→

y =

P

i yi.

−

→

ei v rovnakej báze {−

→

ei }. V maticovom zápise ak

n-ticu súradníc vektora −

→

x v tejto báze zapíšem len ako x, tak

y = Ax

(25)

Maticu prechodu Q do novej bázy definujeme takto: Nech stĺpce matice Q sú postupne
súradnice vektorov {

−

→

fi } v báze {−

→

ei }, kde vektory {

−

→

fi } tvoria novú bázu. Ekvivalentne

to môžeme zapísať takto

−

→

fi =

P

j Qj,i

−

→

ej . Pozor na poradie indexov matice Q, opačne

poradie indexov by bolo nesprávne. (druhý index i má byť stĺpec matice Q a teda Q

j,i

má byť j-tý element vektora

−

→

fi ) Každý vektor −

→

x vektorového priestoru V má v dvoch

rôznych bázach {−

→

ei },{

−

→

fi } rôzne súradnice {xi},{x′i} a rozklad toho istého vektora do

dvoch rôznych báz bude:

−

→

x =

X

j

xj.−

→

ej =

X

i

x′

i.

−

→

fi =

X

i

x′

i.(

X

j

Qj,i−

→

ej ) =

X

j

(

X

i

Qj,ix′

i)

−

→

ej

(26)

Využili sme predošlé vyjadrenie vektora

−

→

fi ,zámenú súm a distributívny zákon (zo základ-

nej školy). teda

−

→

x =

X

j

xj.−

→

ej =

X

j

(

X

i

Qj,ix′i)−

→

ej

(27)

V jednej báze má každý vektor jednoznačné súradnice (jednoznačný rozklad vektora do
danej bázy), teda všetky koeficieny v dvoch rôznych rozvojoch toho istého vektora do tej
istej bázy sa musia rovnať:

xj =

X

i

Qj,ix′i

(28)

, čo možno zapísať maticovo takto

x = Qx′

(29)

,kde x je n-tica (vektor) súradníc vektora −

→

x ∈ V v starej báze {−

→

ei } a x′ je n-tica (t.j.

vektor) súradníc toho istého vektora −

→

x ∈ V v novej báze. Všimnite si, že musíme rozlišo-

vať medzi (abstraktným) vektorom −

→

x ∈ V a medzi jeho maticovým (t.j. súradnicovým)

9

vyjadrením x. Symbol x možno chápať tiež ako vektor, nie však ako prvok vektorového
priestoru V ale ako prvok vektorového priestoru Rn (teda ako n-ticu.) Často sa pri fixnej
báze tieto dve rôzne vektorové priestory stotožňujú.(pretože sú tzv. izomorfné,t.j. zame-
niteľné). Pri rôznych bázach(čo je náš prípad) sú rozličné maticové vyjadrenia toho istého
vektora a je treba preto rozlišovať vektor a jeho maticové vyjadrenie v nejakej báze.
Podobne aj vzťah pre maticové vyjadrenia vektora −

→

y v dvoch rôznych bázach bude:

y = Qy′

(30)

Dosadíme tieto dve vyjadrenia do zobrazenia Qy′ = AQx′ a zľava (nie z prava) celú
rovnicu prenásobíme inverznou maticou Q−1, dostaneme tvar

y′ = Q−

1AQx′ = Jx′

(31)

Označili sme

J = Q−

1AQ

(32)

pretože v zadaní je určené toto označenie a matica J má požadovaný význam: Je to
matica J zobrazenia f v novej báze {f

i}. Predošla rovnica udáva do súvisu matice toho

istého zobrazenia f v dvoch rôznych bázach a súvisí prostredníctvom matice prechodu Q
oboch báz. Ak prenásobíme predošlú rovnicu zľava maticou Q a zároveň sprava maticou
Q−

1

dostaneme obrátenu rovnicu

A = QJQ−

1

(33)

Teraz už naozaj vidno, že úloha nájsť maticu prechodu Q do inej bázy, ktorá zjednoduší
zobrazenie f je totožná s úlohou diagonalizácie matice A. Ak stĺpce matice prechodu Q
(podobne ako stĺpce matice P v príklade 2) budú pozostávať z maticovho zápisu vlastných
vektorov (v starej báze), tak matica J bude jednoduchá. Ak sa vezme matica A z príkladu
2 tak matica J=D bude dokonca diagonálna. Teda: Novú bázu {

−

→

fi } budú tvoriť lineárne

nezávislé vlastné vektory {−

→

vi } zobrazenia f. (−

→

vi k f (−

→

vi )) Teda budú to:(pozri výsledok

príkladu 2)

−

→

f1 = 1−

→

e1 + 0−

→

e2 + 2e3 = −

→

e1 + 2−

→

e3

(34)

−

→

f2 = −

→

e1 + −

→

e3

(35)

−

→

f3 = −

→

e1 − −

→

e2 + −

→

e3

(36)

Matica zobrazenia f v tejto báze bude

J =





−1 0 0

0

1 0

0

0 2





(37)

Príklad č. 4 (Rovnaké zadanie ako príkl. č. 2 pre inú maticu A)

Diagonalizujte A:

A =





1

−1 1

0

3

0

−2 −1 4





.

(38)

Riešenie: Charakteristický polynóm (14) po rozvití podľa 2. riadku bude:

χ(λ) = det(A − λI) = det





1 − λ

−1

1

0

3 − λ

0

−2

−1

4 − λ





(39)

χ(λ) = (3 − λ)[(1 − λ)(4 − λ) − (−2).1] = (3 − λ)(4 − 5λ + λ

2 + 2)

(40)

χ(λ) = (3 − λ)(λ

2 − 5λ + 6) = (3 − λ)(λ − 2)(λ − 3)

(41)

10

Vidíme,že korene charakteristickej rovnice sú 2 a 3, kde číslo 2 je jednoduchý koreň a 3
je dvojnásobný. Teda spektrum matice A bude:

σ(A) = {2, 3}

(42)

Keďže číslo 2 je jednonásobný koreň ch. rovnice tak (podľa príkladu 2) pre vlastné číslo
2 dostaneme ako riešenie rovice (11) alebo (12) jednorozmerný vlastný podpriestor:

B2 = A − 2I =





−1 −1 1

0

1

0

−2 −1 2





∽





1 0 −1
0 1

0

0 0

0





(43)

Vezmeme v

2

= (r, s, t) a t ako voľný parameter, potom z poslednej matice r − t = 0, s = 0

alebo r = t, s = 0 a teda v

2

= t(1, 0, 1), teda jednorozmerný vlastný podpriestor bude

[(1, 0, 1)T ] a v2 ∈ [(1, 0, 1)T ] (zatiaľ bolo všetko presne ako v príklade 2)
Pre vlastné číslo 3, ktorý je dvojnásobný(všeobecne k-násobný) koreň charakteristickej
rovnice, najväčia dimenzia, akú môžeme mať príslušný vlastný podpriestor prislúchajúci
vlastnému číslu 3 je 2 (všeobecne k), ale môže mať aj menšiu dimenziu ako 2 (všeobecne
menšiu ako k). Vždy však bude mať nenulovú dimenziu.

B3 = A − 3I =





−2 −1 1

0

0

0

−2 −1 1





∽

1 1/2 −1/2

(44)

Podľa príkladu 1 riešenie tejto sústavy bude mať až 2 voľné parametre. (Vo všeobecnosti
pre inú maticu mohli by sme pre dvojnásobný koreň ch. polynómu dostať aj jeden voľný
parameter. Potom pozri príklad č 5. Všeobecne ak pre k-násobné vlastné číslo dosta-
neš menej ako k voľných parametrov, tak musíš nasledovať príklad č.5.,pretože potom
postup v tomto príklad neplatí. Ak pre k-násobné vlastné číslo máš práve k voľných
parametrov tak riešiš podľa tohto príkladu.).tu môžeme dostať V zložkách v

3

= (r, s, t)

to budú s, t Dva voľné parametre podľa príkladu 1 spôsobia, že predošlá sústava musí
mať dvojrozmerný priestor riešení, ktorý sa tu nazve dvojrozmerný vlastný podpriestor.
Nájdime presne ten podpriestor: Sústava prechádza na nematicový tvar r = −s/2 + t/2,
teda riešenie bude

v3 = s(−1/2, 1, 0)

T + t(1/2, 0, 1)T = s(−1/2)(1, −2, 0)T + t(1/2)(1, 0, 2)

v3 = s′(1, −2, 0)

T + t′(1, 0, 2)

, kde sme vyňali zlomky pred vektory kvôli jednoduchosti vektorov. (Kde sme zaviedli
nové parametre s′ = −s/2, t′ = t/2, hovorí sa, že sme reparametrizovali, alebo,že nastala
reparametrizácia. Reparametrizácia sa robí len z estetických dôvodov a je nepovinná.
Odstránenie zlomkov sa môže urobiť aj v zápise lineárneho obalu, ako sa to urobilo v
príklade 1.)

v3 ∈









1

−2

0





,





1
0
2









(45)

Pozor, ten istý lineárny obal môže byť zadaný aj inými vektormi, pozri záver príkla-
du č. 1. Cheme utvoriť maticu podobnosti(=prechodu) P. Do stĺpcov matice podob-
nosti(=prechodu) P za každý jednorozmerný vlastný podpriestor berieme nejaký jeden
vlastný vektor, za každý k-rozmerný vlastný podpriestor musíme brať k lineárne nezávis-
lých vlastných vektorov. Ak si zvolíme maticu P ako

P =





1

1

1

0 −2 0
1

0

2





(46)

11

Nájdeme jej inverznú maticu (je P vždy invertibilná?prečo?), potom jeden (Jordanov,vlastný)
rozklad matice A môže byť takýto:

A =





1

−1 1

0

3

0

−2 −1 4





=





1

1

1

0 −2 0
1

0

2









2 0 0
0 3 0
0 0 3









2

1

−1

0

−1/2

0

−1 −1/2

1





(47)

(Pozri teraz záver 1. príkladu) Iný možný (z nekonečne veľa možných rozkladov) rozklad
matice A vznikne, keď namiesto týchto dvoch v

2

= (1, −2, 0)T , v3 = (1, 0, 2)T lineárne

nezávislých vl. vektorov z vlastného podpriestoru prislúchajúcemu vl. číslu 3 vezmem
iné dve lineárne nezávisle vl. vektory z toho istého vlastného podpriestoru, napr. druhý
vektor ponechám a spravím aritmetický priemer (v

2

+ v3)/2 → v3 oboch. Teda nech teraz

budú zmenené vl. vektory takto v

2

= (1, 0, 2)T , v3 = (1, −1, 1)T , teda aj 2. a 3. stĺpec

matice P bude zmenený. Rozklad matice A bude takýto:

A =





1

−1 1

0

3

0

−2 −1 4





=





1 1

1

0 0 −1
1 2

1









2 0 0
0 3 0
0 0 3









2

1

−1

−1

0

1

0

−1

0





(48)

Ako sme už spomínali v úlohe 2, je nejednoznačnosť aj v diagonálnej matici. Vlastné
číslo 2 môže byť na druhom alebo na treťom diagonálnom mieste. (príslušne sa preho-
dia aj stĺpce matice P a riadky matice P −1) Pri výbere vlastných vektorov do stĺpcov
matice P z viacrozmerného vlastného priestoru nám stačí ich lineárna nezávislosť. Ak by
sme mali namiesto nesymetrickej matice A zadanú symetrick[ maticu S , (S = ST ), kto-
rá má aspoň jednu viacnásobnú (k-násobnú) vlastnú hodnotu λ , tak vlastný podpriestor
prislúchajúci vlastnej hodnote λ bude mať dimenziu presne k. (pri nesymetrickej matice
to bolo najviac k). Ďalej vieme podľa vety V2, že symetrická matica má vlastné vekto-
ry, ktoré prislúchajú rôznym vlastným číslam navzájom kolmé. Vieme už, že do stĺpcov
matice podobnosti(=prechodu) P za každý jednorozmerný vlastný podpriestor berieme ne-
jaký jeden vlastný vektor, za každý k-rozmerný vlastný podpriestor musíme brať k lineárne
nezávislých vlastných vektorov. Často uvažujeme alebo vyžadujeme len ortogonálne trans-
formácie P T P = I báz a súradníc maticou prechodu P, to sú napr. rotácie v rovine alebo
rôzne natočenia v priestore. Matica P musí mať vtedy ortonormované stĺpce.(t.j. ortogo-
nálne(=kolmé) a zároveň s veľkosťou vektora 1). Aby sa nám zachovala kolmosť všetkých
stĺpcov v matici P nestačí nám za k-rozmerný vlastný podpriestor vziať len k lineárne nezá-
vislých vlastných vektorov, musíme vziať takých k lineárne nezávislých vl. vektorov, ktoré
sú zároveň aj navzájom kolmé. Na ortogonalizáciu týchto k vlastných vektorov môžete
(alebo musíte alebo máte) použiť gramm-schmidtov ortogonalizačný proces.

Príklad č. 5 Diagonalizácia matice s Jordanovými blokmi. (Rovnaké zadanie ako príkl. č. 2 pre inú

maticu A)
Diagonalizujte maticu A:

A =





1

−2 1

0

3

0

−2 −3 4





.

(49)

Riešenie: Nie každá nesymetrická reálna matica sa dá diagonalizovať na diagonálny tvar,
tak ako sa dali všetky matice doteraz. Uvidíme, že táto matica sa nedá takto diagonalizo-
vať. (Avšak máte jednoduchú pomôcku: Každá reálna symetrická matica a každá matica,
ktorá má jednonásobné korene ch. polynómu.(t.j. vlastné čísla) sa dá diagonalizovať.
Niektoré iné nesymetrické sa tiež dajú diagonalizovať, viď príklad č.3., ale to je skôr už
výnimka. Väčšina nesymetrických matíc sa nedá diagonalizovať v doterajšom zmysle.)
Rozširuje sa preto zmysel diagonalizácie aj na nediagonalizovateľné matice, ako je popísa-
né ďalej. Táto diagonalizácia sa nazýva Jordanová diagonalizácia alebo Jordanov rozklad.

12

Jordanová diagonalizácia (alebo Jordanov rozklad) je úplne najvšeobecnejšia, pretože za-
hŕňa všetky doterajšie prípady.
V3:Ku každej (všeobecnej) matici A (reálnej alebo komplexnej) existuje taká regulárna
matica P a taká podobná matica J, že A = P JP −1, kde J ma takýto tvar.

J =







J1

J2

J3

. . .







.

(50)

,kde J

i samotné sú tiež štvorcové matice, nazývajú sa Jordanové bloky a majú hocijaký

(d

i >= 1) rozmer di. Ich tvar je napr. pre di = 4 takýto:

Ji =







λi

1

λi

1

λi

1

λi







.

(51)

kde λ

i je nejaké vlastné číslo matice A. Hovoríme, že matica J je blokovo diagonálna.

Na diagonále má J len vlastné čísla, v "naddiagonálnom"riadku má len čísla 1 alebo 0.
Všade inde sú nuly. V rámci jedného Jordanového boku máme jedno vlastné číslo, ale
to isté vlastné číslo môže byť aj v iných Jordanových blokoch. Platí veta, že ku každej
matici A existuje jediná(až na poradie Jordanových blokov) podobná(P −1AP ) matica J v
tvare ako vyššie. O matici J sa hovorí, že je to Jordanov Kanonický Tvar (JKT) mati-
ce A, alebo že matica J je v Jordanovom Kanonickom Tvare. Všimnite si, že ak každý
Jordanov blok J

i má rozmer 1 tak matica J je diagonálna, teda dostávame predošlé prípa-

dy (v predošlých príkladoch). Násobnosť vlastného čísla λ

i ako koreňa charakteristického

polynómu je súčet rozmerov všetkých Jordanových buniek v ktorých sa toto vlastné číslo
vyskytuje na diagonále. Pri skladaní matice podobnosti(prechodu) P sme doteraz potrebo-
vali n = dim(V ) = dim(A) lineárne nezávislých vl. vektorov. Tu však ku každej bunke
Ji prislúcha len jeden vlastný vektor vi a di − 1 tzv. "zovšeobecnených"vlastných vekto-

rov.Keďže Jordanových blokov je menej ako je rozmer matice J. (To je vtedy ak aspoň
jeden Jordanov blok má rozmer aspoň 2) tak vlastných vektorov je tu málo. Preto sa na
skladanie matice prechodu P používajú všetky vlastné vektory matice A a zovšeobecnené
vl. vektory.
Všimnite si, že matica A zadaná v tomto príklade a matica A zadaná v príklade č. 4 majú
takmer všetky elementy rovnaké, okrem dvoch. Tieto dve elementy spôsobia, že vznikne
Jordanova bunka. Charakteristický polynóm bude rovnaký ako v 4.príklade, vzhľadom na
takmer úplnu zhodnosť matíc. (Preverte si to, keď neveríte. Ja som tú maticu vymýšľal
tak, aby to platilo a aby ste videli ten rozdiel.) χ(λ) = det(A−λI) = (3−λ)(λ−2)(λ−3)
Postupujete tu rovnako ako v príklade č.4. Vidíme teda že ak ch. polynómy sú totožné,
tak aj násobnosť koreňov charakteristickej rovnice je rovnaká a sú rovnaké aj spektrá
dvoch rôznych matíc. Vlastný vektor jednonásobného vlastného čísla (tu je to vl. číslo
2) sa ráta vždy rovnako ako v predošlých prípadoch. Pre tento príklad jednorozmerný
vlastný podpriestor, ktorý prislúcha vl. číslu 2 je [(1, 0, 1)T ]. Hľadanie vlastných vektorov
prislúchajúcich viacnásobnému vlastnému číslu sa bude odlišovať od predošlých prípadov:

B3 = A − 3I =





−2 −2 1

0

0

0

−2 −3 1





∽

1 0 −1/2

0 1

0

.

(52)

Vidíme, už teraz, že pre riešenie v

3

= (r, s, t) sústavy Bv3 = 0 bude voľný parameter

len jeden (parameter t) a teda vlastný podpriestor bude len jednorozmerný napriek dvoj-
násobnosti koreňa 3 v charakteristickej rovnici. (Na porovnanie v príklade č.4 sme mali

13

dvojnásobný koreň a až 2 voľné parametre.) Sústava prepísana do nematicového tvaru
r − 1/2t = 0, s = 0 dáva riešenie v3 = t(1/2, 0, 1) a príslušný vlastný podpriestor je
teda [(1, 0, 2)T ] Všeobecne ak pre k-násobné vlastné číslo dostanete menej ako k voľných
parametrov tak vznikne aspoň jeden Jordanov blok s príslušným vlastným číslom (u nás
je to 3) s rozmerom aspoň 2. Navyše konkrétne pre tento príklad (vďaka nízkej dimenzii
matice A), vieme, že rozmer Jordanovej bunky pre vlastné číslo 3 nemôže byť väčší ako
2, pretože máme ešte jeden jednorozmerný vlastný podpriestor [(1, 0, 1)T ], ktorý prislú-
cha vlastnému číslu 2 a celý priestor má v tomto príklade rozmer len 3. (súčet všetkých
podpriestorov má byť 3). To znamená, že už vieme presne povedať bez ďalšieho rátania
ako bude vyzerať matici A podobná matica J v Jordanovom kanonickom Tvare.(Naozaj
to vieme len špeciálne pre matice s rozmerom 3 alebo pre dvojnásobné korene, pretože pri
väčších rozmeroch matice A jedno vlastné číslo(viacnásobný koreň char. rov) môže byť
vo viacerých Jordanových bunkách a nevieme vopred na tomto miesto povedať rozmer
každej bunky z nich. To vieme až neskôr.):

J =





2 0 0
0 3 1
0 0 3





(53)

Zostáva určiť maticu prechodu P. Za vlastné číslo 3 hľadáme do matice P ešte jeden
vektor u. Niečo podobné, čo sme už skôr robili v príklade číslo 2 urobíme aj tu: Nech
P = (v1, v2, u), kde v1 (v tomto príklad v1 = (1, 0, 1)T je vlastný vektor ktorý prislúcha
vlastnému číslu λ

1

(tu λ

1

= 2 ), v2 (tu v2 = (1, 0, 2)T ) je vlastný vektor ktorý prislúcha

vlastnému číslu λ

2

(u nás λ

2

= 3) a u nech je hľadaný tzv. "zovšeobecnený"vlastný

vektor. Z vety vieme, že A = P JP −1, teda, že AP = P J, keď rozpíšeme túto rovnosť po
stĺpcoch , do nematicové zápisu a vezmeme horeuvedenú maticu J, tak v našom prípade:
(Av1, Av2, Au) = AP = P J = (λ1v1, λ2v2, v2 + λ2u) Porovnaním prvých dvoch stĺpcov
úplne na ľavo a úplne na pravo nedostávame nič nové, ale porovnaním tretích stĺpcov na
úplnych koncoch rovnosti dostávame užitočnú rovnosť Au = v

2

+ λ2u. Teraz podobne

ako v príklade č.2 dopĺnením jednotkovej matice I na pravú stranu a prehodením na ľavú
stranu dostávame:

(A − Iλ2)u = v2

(54)

Matica λ

2

a pravá strana rovnice v

2

sú už známe, takže sme dostali singulárnu lineárnu

sústavu s nenulovou pravou stranou, ktorej riešením je zovšeobecnený vlastný vektor u.
Túto singulárnu sústavu vyriešíme štandardným spôsobom ako v príklade 1.

(B3|v2) = (A − 3I|v2) =





−2 −2 1 1

0

0

0 0

−2 −3 1 2





∽

1 0 −1/2 1/2

0 1

0

−1

(55)

ak hľadáme riešenie v tvare u = (r, s, t)T , berieme voľný parameter t, potom riešenia
dostávame v tvare : u = (1/2, −1, 0)T + t(1/2, 0, 1)T , teda z afinného podpriestoru (pozri
príklad 1): u ∈ (1/2, −1, 0)T + [(1, 0, 2)T ] Tak ako sme brali ľubovoľný (no najčastejšie
pekný) vlastný vektor z vlastného podpriestoru, tak aj tu si vyberieme ľubovoľný zo-
všeobecnený vlastný vektor u z afinného podpriestoru: Napr. pre parameter t=1, máme
u = (1, −1, 1)T Takže matica P bude

P =





1 1

1

0 0 −1
1 2

1





(56)

14

K matici P nájdeme inverznú P −1, potom jeden rozklad matice A = P JP −1 bude

A =





1

−2 1

0

3

0

−2 −3 4





=





1 1

1

0 0 −1
1 2

1









2 0 0
0 3 1
0 0 3









2

1

−1

−1

0

1

0

−1

0





(57)

Iný rozklad matice A dostaneme ak za zovšebecnený vlastný vektor vezmeme len aditívny
vektor u = (1/2, −1, 0)T v afinnom podpriestore (teda položíme t=0):

A =





1

−2 1

0

3

0

−2 −3 4





=





1 1 1/2
0 0 −1
1 2

0









2 0 0
0 3 1
0 0 3









2

1

−1

−1 −1/2

1

0

−1

0





(58)

Keby rozmer jordanov bloku bol väčší ako 2 ,tak ďalšie zovšeobecnené vektory pre daný
blok sa hľadajú riešením singulárnych sústav:

(A − λiI)ui,2 = u

(59)

(A − λiI)ui,3 = ui,2

(60)

(A − λiI)ui,4 = ui.3

(61)

(u už máme nájdené) Teda vždy na pravú stranu dáme zovšeobecnený vlastný vektor
nájdeny ako riešenie v predošlej sústave. Ak preznačíme vlastný vektor v

i ako ui,0 a

vektor u preznačíme ako u

i,1 a označíme maticu Bi = A − λiI , tak potom hľadanie

vektorov do matice P za Jordanov blok J

i je riešenie zreťazených sústav, ktoré riešime

postupne:

Biui,0 = 0

(62)

Biui,1 = ui,0

(63)

Biui,2 = ui,1

(64)

. . .

(65)

Každý vlastný vektor (ako prvok jednorozmerného alebo viacrozmerného podpriestoru)
má z definície tú vlastnosť, že sa zobrazí maticou A do svojho násobku. Lineárny obal
[v1, v2, ...vk] vlastných vektorov prislúchajúcich tomu istému vlastnému číslu sme nazvali

preto v príklade 2 vlastný podpriestor. Zovšeobecnené vlastné vektory nemajú tu vlast-
nosť, že sa zobrazia do svojích násobkov. Napriek tomu lineárny obal jedného vlastného
vektora a zovšeobecnených vlastných vektorov U = [u

i,0, ui,1, ui,2....ui,di ] (konrétne v tom-

to príklade U = [(1, 0, 2)T , (1, −1, 1)T ]) prislúchajúcich tomu istému Jordanovému bloku
Ji má istú špeciálnu vlastnosť a to takú, že každý vektor z tohto obalu U sa maticou A

zobrazí do toho istého obalu U a nikdy nie mimo tohto obalu. (Napr. v tomto príklade
vektor (1, 0, 1)T a jeho násobky sú mimo obalu).Formálne zapísané: ∀x ∈ U : Ax ∈ U
alebo

AU ⊂ U

(66)

Definícia:Každý vektorový(=lineárny) podpriestor U, pre ktorý AU ⊂ U sa
nazýva invariantný podpriestor zobrazenia A. Invariantný znamená asi z latinči-
ny nemenný, tu sa myslí zobrazením nemenný. (No už je tých (pod)priestorov nejako
moc, však!:lineárny podpriestor,podpriestor riešení,vlastný podpriestor,afinný podpries-
tor,invariatný podpriestor) Každý vlastný podpriestor je zrejmé aj invariantný. Dokonca
aj každý podpriestor vlastného podpriestora je invariantný. Takže vlastný podpriestor
je špeciálny prípad invariantného podpriestora. Za každú Jordanový blok máme jeden
invariatný podpriestor. Celý priestor sa nám rozloží na toľko invariatných podpriestorov,
koľko je Jordanových blokov v matici J.(V tomto príklade sú to dva bloky, jeden blok má

15

rozmer 1x1 a druhý má rozmer 2x2) Poznaním invariatných podpriestorov zobrazenia sa
dá lepšie nahliadnuť, čo robí celé zobrazenie maticou A. Správne teda úloha na diagona-
lizáciu má znieť: nájdite spektrum matice a všetky jej invariantné podpriestory.
Matice na precvičovanie diagonalizácie si môžete vymyšľať aj sami, zvolíte si hocijakú
maticu J,zvolite si nejaku regulárnu maticu P, ktorá má aj jednoduchú inverznú maticu
P −

1

a vyrobíte si A = P JP −1

Príklad č. 6 Diagonalizácia symetrickej matice s viacrozmerným vlastným podpriestorom.

Príklad č. 7 Diagonalizujte kvadratickú formu K(x, y, z) = 2x2 + 4y2 + 2z2 − 4xy + 4xz − 2yz lag-

rangeovou a maticovou metódou a nájdite maticu prechodu Riešenie: Bilineárna forma
je: B(−

→

x , −

→

y ) = −

→

x T B−

→

x Kvadratická forma je: K(−

→

x ) = B(−

→

x , −

→

x ) Definícia: Hovoríme,

že dve matice A,B sú konkgruentné ak existuje taká regulárna (det(P ) 6= 0) matica P, že
A = P BP T . (Všimnite si rozdiel s definíciou podobnosti z príkladu 2: A,B sú podobné
ak existuje taká regulárna matica P,že A = P BP −1) Diagonalizáciou kvadratickej formy
rozumieme nájsť, také P a takú konguentnú diagonálnu maticu D, že A = P DP T . Pri
tejto diagonalizácii(na rozdiel od "vlastnej"diagonalizácii v príklade č. 5) stále existuje
diagonálny tvar. Lagrangeov rozklad: Príslušný maticový zápis kvadratickej formy je:

K(x, y, z) =

x y z





2

−2 −2

−2

4

−1

−2 −1

2









x

y
z





(67)

Príklad č. 8 Nájdite hlavné a vedľajšie poloosi elipsy x2 + 2xy + 3y2 = 1

16