Priklady

Príklady k prednáške Matematika 1

Elementárny kalkulus

Ako vhodné príklady sú vybraté typické úlohy. Rôznym modifikáciam,

úpravám alebo rozšíreniam sa medze nekladú. Zoznam úloh sa bude postupne

dopĺňat’.

Nerovnosti

Úvod. Nerovnosti čísiel (celých, racionálnych alebo reálnych ) majú nasle-

dujúce vlastnosti:

• Pre dve rôzne čísla x a y platí bud’x a y x < y (x je menšie ako y) alebo

y < x; vzt’ah x < y je ekvivalentný vzt’ahu y > x (y je väčšie ako x).

Čísla sú lineárne usporiadané: Ak x > y a y > z potom x > z;

• Ak x > y potom x + z > y + z pre l’ubovol’né číslo z.

Ak x > y a z > 0 potom x.z > y.z; pokial’ z < 0 potom x.z < y.z;

špeciálne ak x > y vynásobíme −1, dostaneme −x < −y.

• Je užitočné znázorňovat’ čísla ako body na číselnej osi: nakreslíme si

(na papieri alebo tabuli, v mysli) priamku a na nej zvolíme počiatok - bod 0,

smerom doprava (dol’ava) v jednotkovej vzdialenosti od počiatku vyznačíme

bod +1 (−1), dvojkovej vzdialenosti smerom doprava (dol’ava) vyznačíme

bod +2 (−2), atd’. Body na číselnej osi medzi celými číslami odpovedajú

reálnym a racionálnym číslam: ak x < y potom x je nal’avo od y.

1

1) Riešte nerovnosti:

8x < 35 + 3x,

12x − 21 < 27 + 4x,

5(x − 1) > 12 − (17 − 3x),

7 − 4x < 3 − 2x

2x + 1

8

<

3x − 4

3

,

x + 10

6

+ 1 −

x

4

>

4 − 5x

6

− 1

.

2) Vyznačte na číselnej osi riešenie sústavy nerovností:

a) 3x + 6 > 0, 2 + 3x > 0 ,

b) 2x − 3 < 3x − 2, 4x − 1 < 2x + 3 ,

c) 3x + 5 < x + 1 , 4x − 3 < x + 6 .

Druhá odmocnina

√

x ≡ x

1
2

, x ≥ 0, je definovaná ako nezáporné číslo,

pre ktoré platí (

√

x)2 = x.

3) Riešte nerovnosti s odmocninou. Najprv dokážte: a > b > 0 ⇔ a2 >

b2.

a)

√

14 +

√

6 > 2

√

3 +

√

7,

b)

√

14 +

√

5 >

√

11 +

√

7,

c)

√

15 +

√

3 <

√

6 +

√

10.

2

4) Riešte nerovnice (najprv určte definičný obor výrazov)

x2 − 3x + 2 > 0

(x − 1)(2 + x)

x − 3

≥ 0

x2 + x + 1

x(x2 − 7x + 3

≤ 0

2 sin x + 3 cos x > 1

Návod: Rozložte výraz obsahujúci premennú x na faktory (x − a), urobte

tabul’ku ich znamienok na relevantných intervaloch a výsledné znamienko

výrazu. Nezabudnite na rozdiel medzi ostrými a neostrými nerovnost’ami.

Absolútna hodnota čísla |x| je nezáporné číslo definované takto: |x| = x

pre x ≥ 0 a |x| = −x pre x ≤ 0.

5) Ukážte, že |x| = max{x, −x} je ekvivalentné uvedenej definícii.

6) Riešte nerovnost’ |x − a| < b a riešenie vyznačte na číselnej osi pre

nasledujúce dvojice a a b:

a = 3, b = 1, a = −1, b = 1, a = 1, b = 2,

a = 1, b = 1

10 ,

a = −2, b = 1

2 ,

a = −1

2 , b =

1
4 .

7) Riešte nerovnice s absolútnymi hodnotami

|x − 2| − |x + 1| ≥ 3,

3

3|x − 1| + |x − 2| ≤ 7

|x − 7| − |x + 2| < 3

|x − 7| + x ≥ 1

Návod: Najdite nuly absolútnych hodnôt, na intervaloch určených tymito

bodmi a ±∞, potom riešte príslušné nerovnice.

4

Matematická indukcia.

1. Overovanie formuly F (n) (závislej na prirodzenom čísle n) metódou

matematickej indukcie. Úloha sa rieši v dvoch krokoch:

1) Overí sa formula F (1) pre n = 1,

2) Za predpokladu, že platí F (n) dokáže sa platnost’ F (n + 1).

1. Metódou matematickej indukcie overte formuly:

a)

P

n
k=1 k

2 = 1 + 4 + ... + n2 = 1

6 n(n + 1)(2n + 1),

b)

P

n
k=1 k

3 = 1 + 9 + ... + n3 = 1

4 n

2(n + 1)2,

c)

P

n
k=1 2k − 1 = 1 + 3 + ... + 2n − 1 = n

2,

d)

P

n
k=1 k(k + 1) = 1.2 + 2.3 + ... + n.(n + 1) =

1
3 n(n + 1)(n + 2),

e)

P

n
k=1 k(k + 2) = 1.3 + 2.4 + ... + n.(n + 2) =

1
6 n(n + 1)(2n + 7),

f)

P

n
k=1

1

(2k−1)(2k+1)

= 1

1.3 +

1

3.5 + ... +

1

(2n−1)(2n+1)

= n+1

2n+1 ,

g)

P

n
k=1(2k − 1)

2 = 1 + 9 + ... + (2n − 1)2 = 1

3 n(4n

2 + 1),

h)

P

n
k=1 a + (k − 1)d = a + a + d + ... + a + (n − 1)d =

n

2 [2a + (n − 1)d,

i)

P

n
k=1 k(k + 1)(k + 2)

= 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) =

1
4 (n + 1)(n + 2)(n + 3),

j)

P

n
k=1 ar

k−1 = a + ar + ... + arn−1 = ar

n−1

r−1 , r 6= 1.

2. Riešte pomocou matametickej indukcie

a) 2 delí n.(n + 3)

b) 6 delí n3 + 11n

c) 5 delí 2.11n + 3

5

d) 9 delí n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3

e) 31 delí 5n+1 + 62n−1

6

3. Dokážte nerovnosti (možno využit’ matematickú indukciu, ale nerovnosti

sa dajú dokázat’ aj bez toho):

a) n! > 2n−1 pre n > 2.

b)

n! <

µ

n + 1

2

¶n

pre n > 1.

c)

(n

k ) ≡

n!

k!(n − k)!

<

nk

k!

. Určte najprv prípustné hodnoty n a k.

*d)

2 <

µ

1 +

1

n

¶n

< 3. Použite binomickú vetu a príklady 1) a 3).

*e)

1

12

+

1

22

+

1

32

+ ... +

1

n2

< 2.

Pre k > 2 využite nerovnost’

1

k2

<

1

k(k − 1)

=

1

k − 1

−

1

k

.

*f)

nn+1 > (n + 1)n pre n > 2.

*g)

1

√

1

+

1

√

2

+

1

√

3

+ ... +

1

√

n

>

√

n.

*h) Analyzujte nerovnost’ |x1 + x2| ≤ |x1| + |x2| a potom dokážte matem-

atickou indukciou |x1 + x2 + ... + xn| ≤ |x1| + x2| + ... + |xn| ≤

*i) Pre x > 0 dokážte nerovnost’ (1 + x)n > (1 + nx).

7

2. Goniometrické funkcie.

Na základe súčtových vzorcov

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ,

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y .

pre goniometrické funkcie a ich hodnôt v bodoch x = 0 a x = π

2

sin 0 = 0 , sin

π

2

= 1 ,

cos 0 = 1 , cos

π

2

= 0 .

možno l’ahko odvodit’ rozmanité vzorčeky pre goniometrické funkcie.

Dokážte nasledujúce formuly pre funkcie sin x a cos x:

1) sin 2x = 2 sin x cos x, sin2 x + cos2 x = 1,

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.

2) sin π = 0 , cos π = −1,

sin(π

2 − x) = cos x , cos(

π

2 − x) = sin x,

sin(x + π) = − sin x , cos(x + π) = − cos x.

Ukážte, že z posledných dvoch vzt’ahov vyplýva periodičnost’ goniomet-

rických funkcií: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + π) = cos x.

8

3) Dokkážte vzt’ahy

| sin

x

2

| =

r

1 − cos x

2

, | cos

x

2

| =

r

1 + cos x

2

.

Goniometrické funkcie tg x a cotg x sú definované vzt’ahmi:

tg x =

sin x

cos x

, x 6=

π

2

+ kπ ,

cotg x =

cos x

sin x

, x 6= kπ .

(miesto tg x a cotg x používa sa tiež značenie tan x resp. cot x).

4) Vysvetlite pôvod definičných oborov pre funkcie tg x a cotg x.

5) Odvod’te vzorce

tg 2x =

2tg x

1 − tg2 x

,

cotg 2x =

1
2

(cotg x − tg x) ,

|tg

x

2

| =

r

1 − cos x
1 + cos x

.

5) Dokážte periodičnost’:

tg (x + π) = tg x , cotg (x + π) = cotg x .

Limity postupností, rady.

Limity postupností

9

1. Vypočítajte limity

a) lim

n→∞

1

√

n

b) lim

n→∞

2n2+3n+4

n2

c) lim

n→∞

2n2+n+1

n2+1

d) lim

n→∞

2n2+3n+4

n3

e) lim

n→∞

n+1

n2+3

f) lim

n→∞

(

√

2n + 1 −

√

2n − 1)

g) lim

n→∞

(

√

n2 + 1 − n)

h) lim

n→∞

(

√

n2 + n + 1 − n)

2. Ukážte, že

a) lim

n→∞

n

3n = 0

(Najprv dokážte, že n

3n ≤

¡

2
3

¢n

pre všetky n.)

b) lim

n→∞

n

2n = 0

3. Dokážte, že pre prirodzené číslo k > 0 platí

a) lim

n→∞

nk = +∞

b) lim

n→∞

n−k = 0

c) lim

n→∞

ln n

nk = 0

4. Dokážte, že platí

a)

+∞

pre a > 1,

lim

n→∞

an = 1

pre a = 1,

0

pre 0 < a < 1.

* b) lim

n→∞

n

√

a = 1

pre a > 0

5. Nájdite zo známej hodoty lim

n→∞

(1 + 1

n )

n = e tieto limity

a) lim

n→∞

(n

2−1

n2+1 )

n2

b) lim

n→∞

(1 + k

n )

n, k-prirodzené, ale aj reálne kladné číslo

10

c) lim

n→∞

(1 − 1

n )

n,

lim

n→∞

(1 − k

n )

n

(Návod: (1 − 1

n ) = (

1− 1

n2

1+ 1

n

).)

6. Dokážte odhady

a) n! > 2n−1 pre n > 2

b) n! < k! nn−k

c) Pre x > 0 platí

(1 + x)n > 1 + nx,

(1 + x)n > nx,

(1 + x)n >

n(n−1)

2

x2

(Použite binomickú vetu.)

7. Aplikácie odhadov

a) Položme

n

√

2 = 1 + ωn. Dokážte, že ωn < 1

n .

b) Položme n

√

n = 1 + ωn, n > 1. Dokážte, že ωn <

q

2

n−1 , n > 1.

8. Vypočítajte limity

a) lim

n→∞

8n2+1
5n2−1 ,

b) lim

n→∞

(

√

n − 1 −

√

n),

c) lim

n→∞

3n+1

√

3n2+5

,

d) lim

n→∞

1+2+...+n

n2

.

11