Matematika (3) - Stirlingov vzorec | prednáška 21

Zhrnutie prednášky

Prednáška uzatvára tému Eulerových integrálov a venuje sa Stirlingovmu vzorcu, ktorý poskytuje asymptotickú aproximáciu Gamma funkcie a faktoriálu pre veľké hodnoty x. Formula sa najprv uvedie vo verzii pre Gamma funkciu a následne aj pre faktoriál prirodzeného čísla. Dôkaz pre prirodzené čísla využíva Taylorov rozvoj logaritmu, odhady pomocou geometrického radu a monotónnosť pomocnej postupnosti, čím sa dokazuje existencia limitnej konštanty vo vzorci.

• - Stirlingov vzorec ln(Gamma(x)) približne rovný ln(odmocnina z 2pi)+(x-1/2)ln(x)-x
• - Asymptotický tvar Gamma(x) ako súčin exponenciály a mocninovej funkcie pre x idúce do nekonečna
• - Verzia Stirlingovho vzorca pre faktoriál n!
• - Dôkaz pre prirodzené čísla pomocou Taylorovho rozvoja logaritmu a odhadu geometrickým radom
• - Preukázanie monotónnosti a ohraničenosti pomocnej postupnosti a existencie limity
• - Historická poznámka o pôvode vzorca u de Moivra a Stirlinga

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.