Matematika (3) - Súvis medzi Gamma a Beta a Rovnica doplnenia | prednáška 20

Zhrnutie prednášky

Prednáška nadväzuje na predchádzajúcu tému Eulerových funkcií a odvodzuje vzťah medzi Gamma a Beta funkciou. Najprv sa vyjadrí Gamma funkcia pomocou nekonečného súčinu a z neho aj vzorec pre číslo pí, potom sa dokazuje vzťah Beta(x,y)=Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y) pomocou substitúcie a prechodu na polárne súradnice. Druhá časť je venovaná takzvanej rovnici doplnenia Gamma(x)*Gamma(1-x)=pí/sin(pí*x), vrátane náčrtu dôkazu cez hustotu racionálnych čísel a spojitosť, s krátkou historickou poznámkou o Leonhardovi Eulerovi.

• - Vyjadrenie Gamma funkcie ako limity nekonečného súčinu
• - Odvodenie asymptotického vzorca pre číslo pí z hodnoty Gamma(1/2)
• - Dôkaz vzťahu medzi Gamma a Beta funkciou: Beta(x,y)=Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x+y)
• - Substitúcia a prechod na polárne súradnice pri výpočte dvojrozmerného integrálu
• - Odhad hodnôt Beta funkcie pre malé argumenty
• - Rovnica doplnenia Gamma(x)*Gamma(1-x)=pí/sin(pí*x) a náčrt jej dôkazu

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.