Matematika (3) - Funkcie Gamma a Beta (1) | prednáška 19

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje Eulerovu Gamma funkciu ako spojité rozšírenie faktoriálu definované nevlastným integrálom. Postupne sa dokazujú jej základné vlastnosti: funkcionálna rovnica Gamma(x+1)=x*Gamma(x), hladkosť triedy C nekonečno, správanie v okolí nuly, rast do nekonečna a konvexita grafu. Na záver sa odvodzuje hodnota Gamma(1/2) rovná odmocnine z pí.

• - Definícia Gamma funkcie ako nevlastného integrálu t^(x-1)*e^(-t) na (0, nekonečno)
• - Dôkaz vzťahu Gamma(k)=(k-1)! pre prirodzené čísla pomocou per partes
• - Základná funkcionálna rovnica Gamma(x+1)=x*Gamma(x)
• - Hladkosť (C nekonečno) Gamma funkcie a výpočet jej derivácií cez Leibnizovo pravidlo a Weierstrassov M-test
• - Limitné správanie x*Gamma(x) v bode 0 a rast Gamma(x) do nekonečna
• - Konvexita grafu Gamma funkcie a hodnota Gamma(1/2)=odmocnina z pí

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.