Matematika (3) - Eulerov Poissonov integrál a Dirichletov integrál | prednáška 17

Zhrnutie prednášky

Prednáška počíta slávny Eulerov-Poissonov integrál (integrál e^(-x^2) cez celé R rovný odmocnine z pi) pomocou Fubiniho vety, a ukazuje jeho aplikáciu pri overovaní, že hustota normálneho rozdelenia je naozaj normovaná pravdepodobnostná funkcia, s odbočkou k Maxwellovmu rozdeleniu rýchlostí v štatistickej fyzike. V druhej časti sa pomocou Leibnizovho pravidla (derivovanie integrálu podľa parametra) počíta integrál x^2·e^(-alfa x^2), čo vedie k určeniu rozptylu normálneho rozdelenia; téma Dirichletovho integrálu avizovaná v názve sa v zachytenej časti prepisu ešte nerozoberá.

• - Výpočet Eulerovho-Poissonovho integrálu (integrál e^(-x^2) od 0 do nekonečna = odmocnina z pi/2) pomocou Fubiniho vety v R^2
• - Aplikácia na hustotu pravdepodobnosti normálneho rozdelenia a overenie jej normovanosti
• - Zmienka o Maxwellovom rozdelení rýchlostí častíc plynu ako špeciálnom prípade normálneho rozdelenia v R^3
• - Výpočet integrálu x^2·e^(-alfa x^2) derivovaním podľa parametra alfa (Leibnizovo pravidlo)
• - Overenie rovnomernej konvergencie potrebnej na použitie Leibnizovho pravidla pomocou Weierstrassovho testu
• - Určenie strednej hodnoty (rozptylu) veličiny x^2 vzhľadom na normálne rozdelenie

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.