Testy dobrej zhody

TESTY DOBREJ ZHODY

Testy dobrej zhody

 = testy hypotéz – zhody rozdelení (= testy

dobrej zhody / fit testy / Goodness of Fit Tests)

 Overujeme, či empirické rozdelenie je

štatisticky zhodné s niektorým z teoretických
rozdelení pravdepodobnosti, prípadne s iným
empirickým rozdelením.

 H

0: f(x) = g(x) ; H1: f(x) ≠ g(x)

Testy dobrej zhody

 Pearsonov Chi-kvadrát (2) test (univerzálny test pre

diskrétne aj spojité distribučné funkcie s dostatočne

veľkým rozsahom n)

 Kolmogorovov test (test pre jednoznačne určené

spojité distribučné funkcie)

 Kolmogorovov-Smirnovov test (test zhody dvoch

empirických distribučných funkcií)

 Testy normality cez momenty (testy normality

pomocou koeficientu šikmosti a špicatosti)

 Testy extrémnych hodnôt (za predpokladu normality

súboru dát)

Všeobecný postup

1.

Navrhnúť predpokladaný typ rozdelenia
pravdepodobnosti, napr. na základe
grafického zobrazenia rozdelenia početností
empirických údajov

2.

Odhadnúť parametre vybraného rozdelenia
(intervaly spoľahlivosti)

3.

Overiť zhodu rozdelenia výberových údajov
s vybraným rozdelením s odhadnutými
parametrami pomocou testov dobrej zhody

Príklad 1 - 2 test
(Normálne rozdelenie)

 Náhodným výberom bola vybratá vzorka rozsahu

n = 50.

 Frekvenčná tabuľka

 Počet intervalov k = 5
 Rozsah intervalu h = 2
 Min = 6, Max = 14

 Overte na hladine významnosti  = 5%, či

empirické rozdelenie početností zodpovedá
normálnemu rozdeleniu.

i

z

i

n

i

1

6

6

2

8

11

3

10

19

4

12

9

5

14

5

=50

i

z

i

n

i

=z

i*ni

=(z

i-priemer)

2

*n

i

1

6

6

36

88.4736

2

8

11

88

37.2416

3

10

19

190

0.4864

4

12

9

108

41.9904

5

14

5

70

86.528

suma stĺpcov:

50

492

254.72

výberový priemer:

9.84 = 492 / 50

výberová smerodajná
odchýlka:

2.28 = √ 254,72 / (50-1)

Výpočet bodových odhadov
parametrov rozdelenia

6; 4.00%

8; 28.00%

10; 56.00%

12; 88.00%

14; 100.00%

Další; 100.00%

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

6

8

10

12

14

Další

R

e

la

tí

vn

a

k

um

ul

a

tí

vn

a

po

če

tn

o

sť

Triedy

Empirické rozdelenie N[10,4]

Graf rozdelenia empirických
početností

Graf kumulatívnej empirickej

distribučnej funkcie

6; 6

8; 11

10; 19

12; 9

14; 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

6

8

10

12

14

A

b

so

lút

n

a

po

če

tn

o

sť

Triedy

Teoretické rozdelenie N[10,4]

Graf hustoty pravdepodobnosti
normálneho rozdelenia N[10,4]

Graf kumulatívnej distribučnej funkcie

normálneho rozdelenia N[10,4]

Teoretické a empirické rozdelenie N[10,4]

Graf hustoty pravdepodobnosti
normálneho rozdelenia N[10,4]

Graf kumulatívnej distribučnej funkcie

normálneho rozdelenia N[10,4]

6; 4.00%

8; 28.00%

10; 56.00%

12; 88.00%

14; 100.00%

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

6

8

10

12

14

Č

e

tn

o

st

Třídy

6; 6

8; 11

10; 19

12; 9

14; 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

6

8

10

12

14

Č

e

tn

o

st

Třídy

Testy dobrej zhody

 Hodnoty skúmanej vybranej premennej -

náhodne vybranej vzorky rozsahu n, sú

rozdelené do k tried (variačné triedenie)

 Porovnáva sa miera zhody pozorovaných

empirických početností ni týchto tried s

teoretickými početnosťami npi

zodpovedajúcimi týmto triedam

(pi – teoretická pravdepodobnosť výskytu

hodnôt z i-tej triedy podľa skúmaného zákona

rozdelenia pravdepodobnosti (normálne,

Poissonove, binomické rozdelenie a iné))

Testovacia charakteristika 2
testu dobrej zhody P

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

 Charakteistika P alebo 2 má rozdelenie s počtom stupňov

voľnosti k-1-r,

 kde r je počet odhadnutých parametrov predpokladaného

teoretického rozdelenia,

 n

i sú empirické, skutočne zistené početnosti hodnôt xi/zi

 p

i

 je teoretická pravdepodobnosť, že hodnoty náhodnej veličiny ležia v

i-tom intervale

Testovacia charakteristika
testu dobrej zhody P (2)

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

 Charakteristika P alebo 2 má rozdelenie s počtom stupňov

voľnosti k-1-r,

 kde r je počet odhadnutých parametrov predpokladaného teoretického

rozdelenia, k je počet tried variačného triedenia

 n

i sú empirické, skutočne zistené početnosti hodnôt xi diskrétnej

premennej alebo intervalov (ti-1 ; ti hodnôt zi spojitej premennej a npi sú

príslušné teoretické, očakávané početnosti.

 N je rozsah výberového súboru

 p

i je pravdepodobnosť hodnoty premennej s predpokladaným

rozdelením, resp. pravdepodobnosť intervalu hodnôt

 je teoretická pravdepodobnosť, že hodnoty náhodnej veličiny ležia v i-

tom intervale (ti-1 ; ti spojitej premennej.

Postup výpočtu testu

i

(t

i-1 ; ti

t

i-1

v

i-1

Φ

(vi-1)

p

i

n*p

i

Coch-

ran

n*p

i (po

cochranovi)

Coch
-ran2

Početnosti

sčítané (np

i-ni)

2

/(np

i)

1

 5 ; 7  -∞

-

∞

0 0.10565

5.282 ok

5.282 ok

6

0.097458323

2

( 7 ; 9 

7 -1.25 0.106 0.25004 12.502 ok

12.502 ok

11

0.180468065

3

( 9 ; 11 

9 -0.37 0.356 0.33928 16.964 ok

16.964 ok

19

0.244319937

4 ( 11 ; 13  11 0.51 0.695 0.22276 11.138 ok

15.251 ok

14

0.102661373

5 ( 13 ; 15  13 1.39 0.918 0.08226

4.113 sčítať

sčítať

6

∞

∞

1

= P = 0,625

Horná a dolná

hranica intervalu

(pokračovanie

predchádzajúcej

tabuľky)

Dolná hranica

intervalu.

Prvý a posledný

interval

zabezpečuje

pokrytie celého

teoretického

rozsahu

rozdelenia

Hodnota

normovanej

náhodnej

veličiny

1

i

1

s

)

x

-

(z





i

v

Distribučná

funkcia

normovaného

normálneho

rozdelenia -

hodnoty sú

tabelované , pre

zi< 0, platí

)

(

1

)

(

1

1















i

i

v

v

Teoretická

pravdepodobnosť,

že hodnoty

náhodnej veličiny

ležia v i-tom

intervale (rozdiel
hodnôt dvoch po

sebe idúcich

riadkov)

)

(

)

(

1











i

i

i

v

v

p

Cochranovo pravidlo

 je požadované splnenie podmienky n

i.p >= 5

pre i = 1, 2, ..., k. (i = 1, 2, ..., k). Splnenie tejto
podmienky možno dosiahnuť dodatočne,
zlučovaním susedných tried. Avšak jej prísne
dodržiavanie je nutné iba pri malom počte
stupňov voľnosti. Bolo overené, že pre
k-1-r ≥ 3 stačí, aby n.pi ≥ 4 a pre
k-1-r ≥ 6 stačí, aby n.pi ≥ 1 ; (i =1, 2, ... k).

Postup výpočtu χ2 testu dobrej zhody

i

(t

i-1 ; ti t

i-1 vi-1

Φ

(vi-1)

p

i

n*p

i

cochran

n*p

i (po

cochranovi)

cochr

an2

Početnosti

sčítané (np

i-ni)

2

/(np

i)

1

( 5 ; 7  -∞

-

∞

0

0.10565

5.282

ok

5.282 ok

6

0.097458323

2

( 7 ; 9  7 -1.25 0.106

0.25004 12.502

ok

12.502 ok

11

0.180468065

3

( 9 ; 11  9 -0.37 0.356

0.33928 16.964

ok

16.964 ok

19

0.244319937

4 ( 11 ; 13  11 0.51 0.695

0.22276 11.138

ok

15.251 ok

14

0.102661373

5 ( 13 ; 15  13 1.39 0.918

0.08226

4.113 sčítať

6

∞

= P = 0,625

g  0.95

r (počet parametrov rozdelenia)= 2

k-1-r = 4-1-2 = 1

Tabelovaná hodnota kvantilu: 2

g(k-1-r) =3.84

Neplatí nerovnosť

0,625 = P

> χ2γ;k-1-r = 3,84,

preto hypotézu H0

nezamietame na hladine

významnosti . Údaje

pochádzajú z normálneho

rozdelenia.

Príklad 2 - 2 test
(Binomické rozdelenie)

 Bolo skúmané dodržiavanie šiestich pravidiel domáceho

poriadku nájomníkmi. Jednoduchý náhodný výber 200
bytov odhalil nasledujúce skutočnosti. Na 5%-nej hladine
významnosti vykonajte test hypotézy a určte, či vzorka
pochádza z rozdelenia, v ktorom počet priestupkov (zo
šiestich možných priestupkov = n) na 1 byt je binomicky
rozdelená náhodná premenná.

H0: Počet priestupkov na 1 byt vo všetkých mestských bytoch je binomicky rozdelený

s pravdepodobnosťou úspechu v každom pokuse p=0,3.

H1: Počet priestupkov na jeden byt v celom meste nie je opísateľný binomickým rozdelením.

Príklad 2 - 2 test
(Binomické rozdelenie)



 x

n

x

i

p

p

x

n

x

P

p





















1

.

.

)

(

 

p

n

X

E

.



 





p

p

n

X

D





1

.

.

k=počet intervalov = 7

E(X)=

1.8

=n.p

n=

6

p=

0.3

Počet možných
priestupkov na 1
byt

početnosť

početnosť
priestupkovpi

Teoretický počet
n*pi

cochran n*pi (po cochranovi) cochran2

početnosti
sčítané

(npi-ni)2/(npi)

0

31

0

0.1176

23.53

ok

23.530

ok

31

2.37163

1

51

51

0.3025

60.51

ok

60.505

ok

51

1.49324

2

70

140

0.3241

64.83

ok

64.827

ok

70

0.41279

3

32

96

0.1852

37.04

ok

37.044

ok

32

0.68680

4

9

36

0.0595

11.91

ok

14.094

ok

16

0.25776

5

5

25

0.0102

2.04 sčítať

sčítať

6

2

12

0.0007

0.15 sčítať

sčítať

200

360

1.0000

200.00

200.000

200

0

;

0

)!

(!

!

.























inak

k

n

pre

k

n

k

n

x

n

k = 7

alfa = 0.05

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

Príklad 2 - 2 test
(Binomické rozdelenie)

Počet možných
priestupkov na 1
byt

početnosť

početnosť
priestupkovpi

Teoretický počet
n*pi

cochran n*pi (po cochranovi) cochran2

početnosti
sčítané

(npi-ni)2/(npi)

0

31

0

0.1176

23.53

ok

23.530

ok

31

2.37163

1

51

51

0.3025

60.51

ok

60.505

ok

51

1.49324

2

70

140

0.3241

64.83

ok

64.827

ok

70

0.41279

3

32

96

0.1852

37.04

ok

37.044

ok

32

0.68680

4

9

36

0.0595

11.91

ok

14.094

ok

16

0.25776

5

5

25

0.0102

2.04 sčítať

sčítať

6

2

12

0.0007

0.15 sčítať

sčítať

200

360

1.0000

200.00

200.000

200

r (počet parametrov rozdelenia)= 2

p = 5.2222

g  0.95

k (po Cochranovi)= 5

k-1-r = 5-1-2 = 2

2

g(k-1-r) = 5.99

Testovacia charakteristika P nie je väčšia
ako chi-kvadrát, preto
hypotézu H0 nezamietame na hladine
významnosti 0.05.

Údaje pochádzajú z binomického
rozdelenia.

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

Príklad 2 - 2 test
(Poissonovo rozdelenie)

 Pri výrobe sa môže vyskytovať určitý počet chýb

na 1 výrobku. Predpokladá sa, že rozdelenie
počtu chýb sa riadi Poissonovým rozdelením.
Jednoduchým náhodným výberom sme vybrali
istý počet výrobkov. Počty chýb sú uvedené
v tabuľke. Test zhody s Poissonovým rozdelením
vykonajte na hladine významnosti a.

H0: Výsledky experimentu sú realizáciou náhodnej veličiny s Poissonovym rozdelením.
H1: Výsledky experimentu nie sú realizáciou náhodnej veličiny s Poissonovym rozdelením

Príklad 2 - 2 test
(Poissonovo rozdelenie)

Pearson Poisson

k= 6

Počet
chýb x

Počet
výrobko
v

počet

chýb

spolu

p

i

Teoretický
počet
výrobkov
n*pi

cochran

n*p

i (po

cochranovi)

cochran2

početno

sti

sčítané

(np

i-ni)

2

/(np

i)

0

43

0

0.5562

41.71

ok

41.712

ok

43

0.03978

1

24

24

0.3263

24.47

ok

24.472

ok

24

0.00912

2

5

10

0.0957

7.18

ok

8.813

ok

8

0.07500

3

2

6

0.0187

1.40 sčítať

sčítať

4

1

4

0.0027

0.21 sčítať

sčítať

5 a viac

0

0

0.0003

0.02 sčítať

sčítať

75

44

1.0000

75.00

74.997

75

0.1239

!

)

(

x

e

x

P

p

x

i











  



X

E





)

(X

D

= 44/75

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

K = počet intervalov = 6

E(x)

  = 0.58670

E = 2.71828

K = počet intervalov po Cochranovi= 3

Príklad 2 - 2 test
(Poissonovo rozdelenie)

Pearson Poisson

k= 6

Počet
chýb x

Počet
výrobko
v

počet

chýb

spolu

p

i

Teoretický
počet
výrobkov
n*pi

cochran

n*p

i (po

cochranovi)

cochran2

početno

sti

sčítané

(np

i-ni)

2

/(np

i)

0

43

0

0.5562

41.71

ok

41.712

ok

43

0.03978

1

24

24

0.3263

24.47

ok

24.472

ok

24

0.00912

2

5

10

0.0957

7.18

ok

8.813

ok

8

0.07500

3

2

6

0.0187

1.40 sčítať

sčítať

4

1

4

0.0027

0.21 sčítať

sčítať

5 a viac

0

0

0.0003

0.02 sčítať

sčítať

75

44

1.0000

75.00

74.997

75

0.1239

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

Kritický obor: χ2

0,95;(k-1-r) = χ

2

0,95 ;(3-1-1) =χ

2

0,95 ;(1) = 6.635

P = 0.124 nie je > 6.635 - preto H0 nezamietam.

Na hladine významnosti α = 0.01 môžeme rozdelenie počtu chýb považovať za Poissonovo
s parametrom λ = 0.5867

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

Príklad 3 - 2 test
(Exponenciálne rozdelenie)

















k

i

i

i

k

i

i

i

i

n

p

.

n

n

p

.

n

)

p

.

n

n

(

P

1

2

1

2

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

 















0

0

0

.

,

.

t

t

e

t

f

t







 



/

1



T

E

 

2

/

1





T

D

Príklad 4
Kolmogorovov test

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

Kolmogorovov test

Parametre rozdelenia:
Priemer:

100

Rozptyl:

4 sm.odch.:2

Alfa

0.01

Rozsah

23

i

xi

ni

Ni

(xi -m)/s

F (xi)

F8 (xi)

i

´i

1

88.5

1

1

-5.75

4.46217E-09

0.043478 0.04347826

4.462E-09

2

91.5

2

3

-4.25

1.06885E-05

0.130435 0.13042409

0.0434676

3

94.5

2

5

-2.75

0.002979763 0.217391 0.21441154

0.127455

4

97.5

6

11

-1.25

0.105649774 0.478261

0.3726111

0.1117415

5

100.5

5

16

0.25

0.598706326 0.695652 0.09694585

0.1204455

6

103.5

5

21

1.75

0.959940843 0.913043 0.04689736

0.2642887

7

106.5

2

23

3.25

0.999422975

1

0.00057703

0.0863795

Výsledok testu:

hodnota testovacej charakteristiky

tabelovaná

kritická

hodnota

D1 =

0.372611096

>

0.33

= D0.01(23) = D(n)

t.j. H

0zamietame.

Výberový súbor nepochádza z daného rozdelenia.

H0: Uvedený výberový súbor pochádza z rozdelenia N(100; 9).

H1: Uvedený výberový súbor pochádza z iného rozdelenia .

Príklad 5
Kolmogorovov-Smirnovov test

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

(ak sú rozsahy výberov malé)
Ak sú rozsahy výberov veľké, testovanie
je podobné ako pri Kolmogorovovom teste cez
intervaly.

Máme k dispozícii údaje o popolnatosti vzoriek

uhlia z dodávok dvoch banských závodov (v %
popola):

I. 5,2 4,8 1,9 5,6 5,5 3,4 5,3 6,4 3,5 3,8

II. 4,8 5,0 5,7 5,4 5,5 4,4 4,2 5,0 5,3 5,0
Pomocou Kolmogorovovho-Smirnovho testu
preverte na hladine významnosti 5% hypotézu, že
obidva výberové súbory pochádzajú z toho istého
základného súboru.

Zadanie:

i

súbor1: súbor2.

1

5.2

4.8

2

4.8

5

3

1.9

5.7

4

5.6

5.4

5

5.5

5.5

6

3.4

4.4

7

5.3

4.2

8

6.4

5

9

3.5

5.3

10

3.8

5

Variačný rad:

1

1.9

2

3.4

3

3.5

4

3.8

5

4.2

6

4.4

7

4.8

7

4.8

9

5

9

5

9

5

12

5.2

13

5.3

13

5.3

15

5.4

16

5.5

16

5.5

18

5.6

19

5.7

20

6.4

H0: Obidva výberové súbory pochádzajú z toho istého základného súboru.

H1: Výberové súbory nepochádzajú z toho istého základného súboru.

Príklad 5
Kolmogorovov-Smirnovov test

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

Riešenie:

j

I

j-1

I

j

<I

j-1;Ij)

F

10(x)

G

10(x)

|F

10(x) - G10(x)|

1

.-∞

1.9

(.-∞; 1.9)

0.00

0.00

0.00

2

1.9

3.4

<1.9; 3.4)

0.10

0.00

0.10

3

3.4

3.5

<3.4; 3.5)

0.20

0.00

0.20

4

3.5

3.8

<3.5; 3.8)

0.30

0.00

0.30

5

3.8

4.2

<3.8; 4.2)

0.40

0.00

0.40

6

4.2

4.4

<4.2; 4.4)

0.40

0.10

0.30

7

4.4

4.8

<4.4; 4.8)

0.40

0.20

0.20

8

4.8

5

<4.8; 5)

0.50

0.30

0.20

9

5

5.2

<5; 5.2)

0.50

0.60

0.10

10

5.2

5.3

<5.2; 5.3)

0.60

0.60

0.00

11

5.3

5.4

<5.3; 5.4)

0.70

0.70

0.00

12

5.4

5.5

<5.4; 5.5)

0.70

0.80

0.10

13

5.5

5.6

<5.5; 5.6)

0.80

0.90

0.10

14

5.6

5.7

<5.6; 5.7)

0.90

0.90

0.00

15

5.7

6.4

<5.7; 6.4)

0.90

1.00

0.10

16

6.4

.∞

<6.4; .∞)

1.00

1.00

0.00

Príklad 5
Kolmogorovov-Smirnovov test

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

Riešenie:

  0.05

n

1= 10

n

2= 10

testovacia
charakteristika d = 10 * 0,4 = 4

Hypotézu H

0 zamietame,

ak testovacia charakteristika je väčšia
ako tabelovaná hodnota = 7

- nie je väčšia - nezamietam H

0

)

(

)

(

max

.

x

G

x

F

n

d

n

n

R

x







Príklad 6 Testy extrém.hodnôt

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

Zadanie:

Na hladine významnosti 5% rozhodnite pomocou Grubbsovho a
Dixonovho testu, či hodnota 23 je extrémna.

 

0.05

extrém:

max pre extrémy spomedzi minimálnych hodnôt, použiť príslušné vzorce

n =

12

Riešenie:

Prvotná
tabuľka

Variačný rad: usporiadať hodnoty prvotnej tabuľky od najmenšej hodnoty po
najväčšiu

12

13

A) Grubbsov test:

12

výberový priemer:

15

11

výb. smer. odchýlka:

3.33

13

15

testovacia charakteristika: T(12) =2.509 > 2.387= T0.05(12)

H

0 zamietame

18

Hodnota 23 JE

16

B) Dixonov test

extrémna.

17

23

testovacia charakteristika: Q(12) =0.417 > 0.376= Q0.05(12) t.j. H

0 zamietame

16

Hodnota 23 JE

14

extrémna.

H0: Hodnota NIE JE extrémna.

H1: Hodnota JE extrémna.

 





 

 

1

1

)

(

x

x

x

x

n

Q

n

n

n









   

1

.







n

n

s

x

x

n

T

n

Príklad 7 Testy normality pomocou
koeficientu šikmosti a špicatosti

2

95

,

0

2

95

,

0

 2

95

,

0

Test normality pomocou koeficientu šikmosti.

šikmosť = -0.4083

abs(

g

3)=

0.408332 NIE JE > 0.880727 = D3*u(1+g)/2

rozsah súboru =

23

alfa=

0.05

t.j. H

0nezamietame.

D

3=

0.4494

Výberový súbor pochádza z normálneho rozdelenia.

=

1.9600

Test normality pomocou koeficientu špicatosti.

špicatosť = -0.4873 abs(

g

4+6/(n+1))=

0.237274 NIE JE > 1.457355 = D4*u(1+g)/2

rozsah súboru =

23

alfa=

0.05

t.j. H

0nezamietame.

D

4=

0.7436

Výberový súbor pochádza z normálneho rozdelenia.

=

1.9600

2

1

g



u

2

1

g



u

H0: Výberový súbor pochádza zo súboru s normálnym rozdelením.

H1: Výberový súbor nepochádza zo súboru s normálnym rozdelením.

2

1

g



u

2

1

g



u