IDENT_20110322 01 Maticové operácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje maticovým operáciám potrebným pre ďalšie štúdium identifikácie systémov z frekvenčnej charakteristiky. Vysvetľujú sa základné pravidlá sčítania a násobenia matíc, transpozícia súčinu a inverzia súčinu matíc, ako aj výpočet inverznej matice 2x2 pomocou determinantu a adjungovanej matice. Ťažiskom je derivovanie matíc a vektorov – derivácia matice podľa skalára, derivácia skalára podľa vektora (výsledkom je vektor) a derivácia vektora podľa vektora (výsledkom je matica, tzv. Jakobiho matica). Na záver sa odvodzujú dôležité vzťahy pre deriváciu výrazov typu x^T·a, a·x a x^T·A·x podľa vektora x, ktoré sa využívajú pri ďalších výpočtoch v identifikácii systémov.

• - Sčítanie matíc je komutatívne, násobenie matíc nie je komutatívne.
• - Transpozícia a inverzia súčinu matíc menia poradie násobených matíc (A·B)^T = B^T·A^T.
• - Inverzia matice 2x2 sa počíta pomocou determinantu (AD-BC) a adjungovanej matice.
• - Derivácia matice podľa skalára sa robí po jednotlivých prvkoch, výsledok má rovnaký rozmer.
• - Derivácia skalára podľa vektora dáva vektor, derivácia vektora podľa vektora dáva maticu (o rozmer vyššie).
• - Derivácia vektora podľa seba samého dáva jednotkovú maticu.
• - Odvodené kľúčové vzťahy: ∂(x^T·a)/∂x = a, ∂(A·x)/∂x = A^T, ∂(x^T·A·x)/∂x vedie k vektoru.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.