Elektromagnetizmus - 28.9.2016 - prednáška 05

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Elektromagnetizmu nadväzuje na vzťah E = -grad V a Gaussov zákon v diferenciálnom tvare, z ktorých sa odvodzuje Poissonova rovnica pre elektrický potenciál a jej špeciálny prípad, Laplaceova rovnica, platná v oblastiach bez voľného náboja. Hlavnou témou je numerické riešenie Laplaceovej rovnice metódou Gaussa a Seidela na diskrétnej štvorcovej mriežke pre dvojrozmerný prípad. Ukazuje sa, že hodnota potenciálu v ľubovoľnom mriežkovom bode musí byť aritmetickým priemerom hodnôt v štyroch susedných bodoch, čo je základ iteračného numerického postupu.

• Kombináciou E = -grad V a div E = ρ/ε₀ vzniká Poissonova rovnica: Laplacian V = -ρ/ε₀
• Ak v priestore nie sú voľné náboje, redukuje sa na Laplaceovu rovnicu: Laplacian V = 0
• Metóda rieši úlohy, kde je známy potenciál na hraniciach (napríklad na vodivých platniach), nie rozloženie náboja
• Priestor sa diskretizuje na štvorcovú mriežku s krokom h a druhé derivácie sa nahrádzajú konečnými diferenciami
• Výsledná podmienka pre riešenie Laplaceovej rovnice: V(i,j) sa rovná aritmetickému priemeru štyroch susedných hodnôt V(i±1,j) a V(i,j±1)
• Metóda Gauss-Seidel spočíva v iteratívnom prepočítavaní hodnôt potenciálu v uzloch mriežky, kým sa dosiahne konvergencia
• Úloha sa najprv rieši v dvojrozmernom priereze nekonečne dlhého útvaru, čo zjednodušuje kreslenie aj výpočet

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.