Prednáška 8 - 2.časť

Zhrnutie prednášky

Prednáška zopakuje definičný obor a obor hodnôt funkcie dvoch premenných a zavedie hladinové krivky ako množiny bodov, v ktorých funkcia nadobúda konštantnú hodnotu c. Ich význam sa ilustruje na funkcii z = x²y² a na rotačnom paraboloide, kde zodpovedajú rezom rovinou kolmou na os z. Hlavná časť sa venuje hľadaniu viazaných extrémov na príklade Cobbovej-Douglasovej produkčnej funkcie s rozpočtovým obmedzením 6K + 2L = 384. Z väzby sa vyjadrí jedna premenná, funkcia sa zredukuje na jednu premennú a pomocou prvej derivácie sa nájde stacionárny bod [24; 120]. Záporná druhá derivácia potvrdí, že ide o maximum produkcie za daného obmedzenia.

• - Definičný obor je množina dvojíc (x, y), ktoré možno dosadiť do funkcie; obor hodnôt je množina všetkých vzniknutých hodnôt.
• - Hladinová krivka funkcie pre konštantu c z oboru hodnôt je množina bodov z definičného oboru, v ktorých f(x, y) = c.
• - Hladinové krivky možno predstaviť ako rezy grafu funkcie rovinou kolmou na os z, napríklad hyperboly pre c = 0,5; 1; 3 alebo kružnice pri rotačnom paraboloide.
• - Cobbova-Douglasova produkčná funkcia Q = A·K^a·L^b vyjadruje produkciu pomocou kapitálu K a práce L, pričom parametre a, b sú kladné a menšie ako 1.
• - Viazaný extrém sa hľadá na prieniku grafu funkcie s väzbou, čo je iná úloha ako hľadanie globálneho extrému.
• - Postup: z väzby 6K + 2L = 384 sa vyjadrí L, dosadí sa do produkčnej funkcie a extrém sa hľadá derivovaním funkcie jednej premennej.
• - Stacionárny bod vychádza K = 24, L = 120; záporná druhá derivácia potvrdzuje maximum produkcie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.