Prednáška 6

Zhrnutie prednášky

Prednáška nadväzuje na úvod do diferenciálneho počtu a ukazuje využitie derivácií pri skúmaní monotónnosti a lokálnych extrémov funkcie. Najprv sú definované rastúce, klesajúce, neklesajúce a nerastúce funkcie a vysvetlené, že znamienko prvej derivácie na intervale určuje monotónnosť pôvodnej funkcie. Na príklade s funkciou ln(x² + 9) sa určuje definičný obor (všetky reálne čísla) a intervaly monotónnosti: funkcia klesá na (−∞, 0) a rastie na (0, ∞). Potom sú zavedené lokálne a ostré lokálne extrémy, stacionárne a kritické čísla ako kandidáti na extrém a kritériá ich overenia zmenou znamienka prvej derivácie alebo pomocou vyšších derivácií.

• - Funkcia je rastúca, ak z x1 < x2 vyplýva f(x1) < f(x2); klesajúca, ak f(x1) > f(x2); pri neklesajúcej a nerastúcej pribúda znak rovnosti.
• - Ak je f′(x) > 0 na intervale, funkcia na ňom rastie; ak f′(x) < 0, funkcia klesá.
• - Intervaly monotónnosti sa zisťujú cez nulové body prvej derivácie a znamienko derivácie v zástupcoch jednotlivých intervalov.
• - Funkcia ln(x² + 9) má definičný obor ℝ, na (−∞, 0) klesá a na (0, ∞) rastie.
• - Lokálne extrémy (maximum, minimum, aj ostré) môžu nastať len v kritických číslach, teda tam, kde je f′ nulová alebo neexistuje.
• - Zmena znamienka f′ z plus na mínus znamená ostré lokálne maximum, z mínus na plus ostré lokálne minimum.
• - Podľa druhej derivácie: ak f′(x0) = 0 a f″(x0) < 0, ide o maximum, ak f″(x0) > 0, ide o minimum; nepárna prvá nenulová derivácia znamená inflexný bod.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.