Štatistika

UVM

1

Vlastnosti kvantitatívnych dát

Ukazovatele (miery)

Poloha

Pol

Central

Central

Tendency
(Location)

Menlivosť

Variation
(Dispersion)

(Dispers

Tvar

Tva

Shape

Štatistika

UVM

2

Kvantitatívne dáta

Vlastnosti a ukazovatele

Priemer
Modus
Medián

Miery polohy

(Centrálna tendencia)

Variačné rozpätie
Kvartilové rozpätie
Štand. odchýlka
Rozptyl
Variačný koeficient
Štandardná chyba

Miery variability

(Menlivosť)

Šikmosť
Špicatosť

Miery tvaru

Ukazovatele

(Miery)

Štatistika

UVM

3

Vlastnosti kvantitatívnych dát

Používané symboly

Ukazovateľ

Measure

Populácia

Population

Výber

Sample

Rozsah (Size)

N

n

Priemer (Mean)

µ

x

Rozptyl
(Variance)

2

s2

Štand.oddchýlka
(Stand.Deviation)



s

Štatistika

UVM

4









m

m

2

2

1

1

m

1

i

i

i

n

2

1

n

1

i

i

n

x

...

n

x

n

x

n

1

n

x

n

1

x

x

...

x

x

n

1

x

n

1

x





























Aritmetický priemer

(Mean)

• Miera polohy (často používaná)
• Bod „rovnováhy“
• Citlivý na extrémne hodnoty

(„Outliers“)

• Vzorec (pre výber):

– Jednoduchý:

– Vážený (z frekv. tabuľky):

Štatistika

UVM

5

• Miera polohy (centrálnej tendencie)
• Najčastejšie sa vyskytujúca hodnota
• Nie je citlivý na extrémne hodnoty
• Súbor môže mať aj viac modusov,

alebo aj žiadny

• Používa sa u číselných ale aj

kategoriálnych dát

• Príklady:
1. Dáta: 10, 10, 11, 13, 9, 10, 10, 8

x

Mo=10

(1 modus)

2. Dáta: 10, 10, 11, 12, 12, 8, 9, 10, 12

x

Mo=10 a 12

(2 modusy)

3. Dáta: 10, 12, 8, 9, 11, 13, 7 - dáta bez

modusu

Modus (Mode)

Štatistika

UVM

6

• Miera polohy (centrál. tendencie)
• Necitlivý na extrémne hodnoty
• Stredná hodnota v usporiadanom

súbore:

– ak n = nepárne, tak je to hodnota v

strede usporiadaného súboru

– ak n = párne, tak je to priemer 2-och

prostredných hodnôt usporiadaného
súboru

• Pozícia mediánu v súbore:

Medián (Median)

2

1

n

r





Štatistika

UVM

7

Dáta:

24.1

22.6

21.5

23.7

22.6

Usporiadané:

21.5

22.6

22.6

23.7

24.1

Pozícia:

1

2

3

4

5

Medián - príklad

n = 5 (nepárne)

22,6

x

3

2

1

5

2

1

n

r

Me 











Štatistika

UVM

8

Medián - príklad

n = 6 (párne)

Dáta: 10.3 4.9

8.9

11.7 6.3

7.7

Uspor.:4.9 6.3

7.7

8.9

10.3 11.7

Pozícia:1

2

3

4

5

6

8,3

2

8,9

7,7

x

3,5

2

1

6

2

1

n

r

Me

















Štatistika

UVM

9

Variačné rozpätie

(Range)

•

Miera variability (menlivosti,

dispersie)

•

Vzorec: R = x

max - xmin

•

Ignoruje rozdelenie dát (ich

výskyt)

Príklad:

1. Dáta: 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10



R = 10-7 = 3

2. Dáta: 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10



R = 10-7 = 3

7 8 9 10

7 8 9 10

Štatistika

UVM

10

Rozptyl & štandardná

odchýlka

Variance & Standard Deviation

• Miery variability najviac používané

(menlivosti, disperzie)

• Posudzujú rozdelenie dát
• Ukazujú variabilitu okolo priemeru

( x alebo

)

• Vzorec (výberový rozptyl):

– Jednoduchý:

– Vážený ( z frekv. tabuľky):



      



  

 

1

-

n

n

x

x

...

n

x

x

n

x

-

x

1

-

n

1

s

1

-

n

x

x

...

x

x

x

x

x

-

x

1

-

n

1

s

m

2

m

1

2

1

i

2

m

1

i

i

2

2

n

2

2

2

1

2

n

1

i

i

2





































Štatistika

UVM

11

n - 1 v menovateli!

Použi N ak počítaš rozptyl

populácie namiesto n-1!

Štandardná odchýlka

Smerodajná odchýlka

(Standard Deviation)



      



  

 

1

-

n

n

x

x

...

n

x

x

n

x

-

x

1

-

n

1

s

vážený

1

-

n

x

x

...

x

x

x

x

x

-

x

1

-

n

1

s

jednoduchý

s

s

m

2

m

1

2

1

i

2

m

1

i

i

2

n

2

2

2

1

2

n

1

i

i

2











































Štatistika

UVM

12

Rozptyl & štandardná odchýlka

Príklad

Dáta:17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11
n = 8

n =









 









3,34

3,338

11,14

s

11,14

s

1

-

8

15,5

11

...

15,5

16

15,5

17

s

x

-

x

1

-

n

1

s

15,5

11

...

16

17

8

1

x

n

1

x

2

2

2

2

2

2

n

1

i

i

2

n

1

i

i













































Štatistika

UVM

13

Relatívne miery variability

• Variačný koeficient

(Coefficient of Variation):

– vyjadruje sa v percentách
– porovnanie variability 2-och

rôznorodých súborov

• Štandardná chyba (Standard

Error):

n

s

SE



 

100

x

s

V

k





Štatistika

UVM

14

Miery tvaru

Shape

• Popisujú ako sú dáta

rozložené

• Miery tvaru sú:

– Šikmosť (Skew = Skewness)
– Špicatosť (Kurtosis)

Šikmosť:

Mean

Left-Skewed

Left

Symmetric

Mean = Median = Mode

Median Mode

Right-Skewed

Righ

Median Mean

Mode

Štatistika

UVM

15

Miery tvaru

Shape

Špicatosť (Kurtosis):

Normálne

Norm

rozdelenie

N(0,1)

Špicatejšie

Špicatejši

ako N(0,1)

ako

+

Plochejšie

Plo

ako N(0,1)

ako

-

Štatistika

UVM

16

Kvartily (Quartile)

• Miery alokácie (Measure of

Noncentral Tendency)

• Rozdeľujú usporiadané dáta na

4 rovnako početné časti:

Q

1

Q

2

Q

3

• Pozícia i-ho kvartilu:

25%

25%

25%

25%





4

1

n

i

k

Qi





Štatistika

UVM

17

Kvartily (Quartile)

Príklad

Dáta:

10.3 4.9

8.9

11.7 6.3

7.7

Uspor.:4.9

6.3

7.7

8.9

10.3

11.7

Pozícia: 1

2

3

4

5

6

 

 

 

10,3

Q

5

5,25

4

1

6

3

k

6,3

2

8,9

7,7

Q

3,5

4

1

6

2

k

6,3

Q

2

1,75

4

1

6

1

k

3

Q3

2

Q2

1

Q1







































Štatistika

UVM

18

Kvartilové rozpätie

Interquartile Range

• miera variability
• výskyt (rozšírenie, Midspread) javu u

50% jednotiek súboru

• necitlivá na extrémne hodnoty
• Vzorec: R

Q = Q3 – Q1

Dáta:

17,16, 21,18, 13, 16,1 2, 11

Uspor.

Uspo :11,12,13, 16, 16, 17, 18, 21

Pozícia

z

:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

n = 8
k

Q3 = 6,75

k

Q1 = 2,25

R

Q = 18 – 12 = 6

Štatistika

UVM

19

Krabicový graf

Box Plot

• Grafické zobrazenie dát

pomocou 5-tich popisných
štatistík (ukazovateľov)

Median

4

6

8

10

12

Q

3

Q

1

X

largest

larg

X

smallest

smalle

Štatistika

UVM

20

Right-Skewed

Righ

Left-Skewed

Left

Symmetric

Q

1

Median Q

3

Q

1

Median Q

3

Q

1

Median Q

3

Tvar (Shape) & Box Plot

Štatistika

UVM

21

Miery tvaru

Shape

• Koeficient šikmosti (Skew =

Skewness), označenie



1

– zošikmenie doľava kladný
– zošikmenie doprava záporný
– symetria 0

• Koeficient špicatosti (Kurtosis)

označenie



2

– normálne rozdelenie 0
– špicatejšie kladný
– plochejšie záporný





3

n

1

i

3

i

1

s

x

x

n

1

γ













3

s

x

x

n

1

γ

4

n

1

i

4

i

2









