TAR3_20121009 02 Priama adaptívna regulácia pomocou MRAC

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje priamu adaptívnu reguláciu typu MRAC na najjednoduchšom nestabilnom systéme prvého rádu x' = ax + u s neznámym pólom a > 0. Ak by a bolo známe, stavová spätná väzba u = -k*x s k* = a + a_m by umiestnila pól uzavretého obvodu do -a_m. Keďže a nie je známe, používa sa odhad k a analyzuje sa chyba e medzi stavom a jeho odhadom (referenčným modelom) a chyba parametra k~ = k - k*, čo vedie na diferenciálnu rovnicu e' = -a_m*e - k~*x. Stabilita sa dokazuje Ljapunovovou funkciou V = e²/2 + k~²/(2γ) s γ > 0. Podmienka nekladnej derivácie V vedie na adaptačný zákon k' = γ*x², ktorý zaručuje asymptotickú stabilitu. Na začiatku sa pripomínajú aj definície Ljapunovovej, asymptotickej a globálnej asymptotickej stability.

• - Modelový príklad: nestabilný systém prvého rádu x' = ax + u s a > 0 a neznámym pólom.
• - Pri známom a by regulátor u = -k*x s k* = a + a_m umiestnil pól uzavretého obvodu do -a_m.
• - Chyba e = x - x̂ a chyba parametra k~ = k - k* spĺňajú rovnicu e' = -a_m*e - k~*x.
• - Ljapunovova funkcia musí byť spojitá, kladne definitná a s nekladnou deriváciou v čase; asymptotická stabilita vyžaduje zápornú deriváciu.
• - Kandidát V = e²/2 + k~²/(2γ) s γ > 0 dáva V' = -a_m*e² + k~*(-e*x + k'/γ).
• - Vynulovaním zvyšného člena vzniká adaptačný zákon k' = γ*e*x = γ*x², ktorý zaručuje asymptotickú stabilitu uzavretého obvodu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.