23. Limita súčinu pre nevlastné limity

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje vete o limite súčinu pre nevlastné limity. Ak funkcia f má v hromadnom bode a limitu plus nekonečno a funkcia g má v tom istom bode limitu c, ktorá je buď kladné reálne číslo, alebo plus nekonečno, potom súčin f·g má v bode a limitu plus nekonečno. Dôkaz sa delí na dva prípady podľa hodnoty c. Pri kladnom c sa využije lema o odrazení od nuly, ktorá zaručí g(x) ≥ d > 0 na okolí bodu a, a z definície limity f sa použije odhad f(x) > k/d; vynásobením nerovností vznikne f(x)·g(x) > k. Pri c rovnom plus nekonečno stačí zvoliť pre g hodnotu 1, pre f hodnotu k a delta sa volí ako minimum z oboch delt. Ostatné kombinácie, napríklad nekonečno krát nula, sú neurčité výrazy.

• - Veta V13: ak lim f = +∞ a lim g = c > 0 alebo c = +∞, tak lim f·g = +∞.
• - Neurčitým výrazom zostáva +∞ · 0; prípad +∞ · (záporné číslo) sa v tejto vete nedokazuje.
• - V definícii limity +∞ stačí uvažovať len kladné k, lebo pre záporné k platí nerovnosť automaticky.
• - Pri kladnom c sa použije lema o odrazení od nuly: na okolí bodu a platí g(x) ≥ d > 0.
• - Z definície limity f sa volí f(x) > k/d, takže po vynásobení nerovností (všetky členy kladné) vyjde f(x)·g(x) > k.
• - Pri c = +∞ sa pre g zvolí hranica 1 a pre f hranica k, čím súčin prekročí k.
• - Výsledná delta sa volí ako minimum z čiastkových delt (a polomeru okolia r).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.