Matematická Analýza 1 - Spojitosť funkcie v bode a na množine | Prednáška 4 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška najprv dokončuje tému monotónnosti funkcií (rastúca, klesajúca, neklesajúca, nerastúca) a vzťahu medzi prostou funkciou a existenciou inverznej funkcie, na príklade sínusu, kosínusu a tangensu ukazuje konštrukciu cyklometrických funkcií arkussínus, arkuskosínus a arkustangens zúžením na vhodný interval. Zavádza pojem rovnosti funkcií, reštrikcie (zúženia) funkcie, graf inverznej funkcie a operácie s funkciami (súčet, súčin, zloženie), na základe ktorých definuje elementárne funkcie, pričom ako príklady neelementárnych funkcií uvádza Dirichletovu a Riemannovu funkciu. V druhej polovici prednáška opúšťa funkcie a motivuje pojem limity postupnosti na Archimedovom výpočte čísla pí pomocou vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov, kde ukazuje, že hodnoty postupnosti aproximujú pí s ľubovoľnou presnosťou pri dostatočne veľkom indexe. Túto myšlienku napokon prenáša na výpočet strmosti grafu funkcie y rovná sa x na druhú v bode 2 pomocou sečníc, čím pripravuje pôdu pre formálnu (epsilonovú) definíciu limity, ktorú sľubuje dokončiť na budúcej prednáške.

• Monotónnosť funkcie: rastúca, klesajúca, neklesajúca, nerastúca
• Prostá funkcia a existencia inverznej funkcie
• Cyklometrické funkcie: arkussínus, arkuskosínus, arkustangens
• Rovnosť funkcií, reštrikcia (zúženie) a graf inverznej funkcie
• Elementárne funkcie a operácie súčtu, súčinu a zloženia funkcií
• Dirichletova a Riemannova funkcia ako príklady neelementárnych funkcií
• Archimedova aproximácia čísla pí vpísanými a opísanými mnohouholníkmi
• Motivácia pojmu limity cez strmosť grafu funkcie v bode

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.