Matematická Analýza 1 - Limita funkcie a postupnosti | Prednáška 2 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška nadväzuje na predchádzajúce zavedenie reálnych čísel a formuluje ich vlastnosti ako sústavu axióm – komutatívnosť, asociatívnosť a distributívnosť sčítania a násobenia, existenciu neutrálnych a opačných či prevrátených prvkov, usporiadanie s trichotómiou a tranzitivitou a kľúčovú axiómu suprema, z ktorej sa symetrickou úvahou odvodzuje aj existencia infima. Ukazuje sa technika dôkazu sporom vrátane správneho tvorenia negácie výrokov s kvantifikátormi, ktorá sa použije na dôkaz pomocnej vety, že k ľubovoľnému kladnému číslu existuje prirodzené n také, že 1/n je od neho menšie. Na tomto základe sa dokazuje, že medzi ľubovoľnými dvoma reálnymi číslami leží aspoň jedno racionálne aj aspoň jedno iracionálne číslo, čím sa zdôvodňuje, že na číselnej osi neexistujú „susedné“ čísla a že racionálne aj iracionálne čísla sú v nej husto rozložené. Tieto výsledky pripravujú aparát reálnych čísel, ktorý bude nevyhnutný pre neskoršie presné zavedenie pojmu limity funkcie a postupnosti.

• Axiómy sčítania a násobenia reálnych čísel: komutatívnosť, asociatívnosť, distributívnosť
• Usporiadanie reálnych čísel: trichotómia a tranzitivita
• Axióma suprema a odvodenie existencie infima
• Dôkaz sporom a negácia výrokov s kvantifikátormi
• Vlastnosť čísel typu 1/n a ich ľubovoľná malosť
• Hustota racionálnych čísel medzi dvoma reálnymi číslami
• Hustota iracionálnych čísel medzi dvoma reálnymi číslami
• Neexistencia susedných bodov na číselnej osi

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.