54. Lagrangeova veta

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza Lagrangeovu vetu o strednej hodnote ako zovšeobecnenie Rolleovej vety bez požiadavky rovnakých funkčných hodnôt v krajných bodoch. Ak je funkcia spojitá na uzavretom intervale ⟨a,b⟩ a má konečnú deriváciu na otvorenom intervale (a,b), existuje bod c, v ktorom sa derivácia rovná smernici spojnice krajných bodov, teda (f(b)−f(a))/(b−a). Dôkaz sa robí pomocou pomocnej funkcie g(x) = f(x) − (f(b)−f(a))/(b−a)·(x−a), pre ktorú platí g(a) = g(b), takže sa na ňu dá použiť Rolleova veta. Na záver sa veta aplikuje na dôkaz nerovnosti |ln(x²+1) − ln(y²+1)| ≤ |x−y| pomocou odhadu |f'(t)| = |2t/(t²+1)| ≤ 1.

• - Lagrangeova veta zovšeobecňuje Rolleovu vetu: nevyžaduje f(a) = f(b).
• - Predpoklady: f je spojitá na ⟨a,b⟩ a má deriváciu na (a,b).
• - Záver: existuje c z (a,b) také, že f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a), teda dotyčnica je rovnobežná so spojnicou krajných bodov.
• - Dôkaz: pomocná funkcia g(x) = f(x) − (f(b)−f(a))/(b−a)·(x−a) spĺňa g(a) = g(b) a podľa Rolleovej vety má g'(c) = 0.
• - Rolleova veta je špeciálny prípad Lagrangeovej, no v dôkaze sa používa, preto sa dokazuje ako prvá.
• - Aplikácia: pre f(t) = ln(t²+1) platí |f'(t)| = |2t|/(t²+1) ≤ 1, lebo (|t|−1)² ≥ 0.
• - Z Lagrangeovej vety potom vyplýva nerovnosť |ln(x²+1) − ln(y²+1)| ≤ |x−y| pre všetky reálne x, y.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.