73. Maclaurinove polynómy

Zhrnutie prednášky

Maclaurinove polynómy sú Taylorove polynómy so stredom v bode 0. Prednáška uvádza rozvoje elementárnych funkcií: e^x, sin x, cos x, ln(1+x) a arctg x, vždy so zvyškom v tvare o(x^n). Na prvom príklade sa ukazuje, že limita (e^{x²} + 2cos x − 3)/ln(1+x⁴) pre x → 0 vychádza 7/12, a to jednoduchým porovnaním koeficientov bez l'Hospitalovho pravidla. Na druhom príklade sa funkcia 1/(1+x+x²) upraví na (1−x)/(1−x³) a rozvinie pomocou geometrického radu. Z koeficientu pri x^2020 vyplýva, že 2020. derivácia v nule je −2020!.

• - Maclaurinov polynóm je Taylorov polynóm so stredom v bode 0.
• - e^x = 1 + x + x²/2! + … + x^n/n! + o(x^n).
• - sin x obsahuje len nepárne mocniny so striedavými znamienkami; cos x len párne a získa sa derivovaním rozvoja sínusu.
• - ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − … a arctg x = x − x³/3 + x⁵/5 − … (druhý sa odvodí z geometrického radu antiderivovaním).
• - Limity s Maclaurinovými polynómami sa počítajú porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách, napr. výsledok 7/12; je to jednoduchšie ako l'Hospital.
• - Koeficient pri x^n v Maclaurinovom polynóme je f^(n)(0)/n!, takže z neho možno čítať hodnoty vyšších derivácií.
• - Pre f(x) = 1/(1+x+x²) = (1−x)/(1−x³) vychádza koeficient pri x^2020 rovný −1, teda f^(2020)(0) = −2020!.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.