Matematická Analýza 1 - Základné vety diferenciálneho počtu | Prednáška 13 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokončuje výpočtové pravidlá diferenciálneho počtu vetou o derivácii inverznej funkcie, ktorá vyžaduje spojitosť a prostotu pôvodnej funkcie a nenulovosť jej derivácie, s dôkazom založeným na substitúcii v limite a na spojitosti inverznej funkcie. Zavádza sa pojem derivácie ako funkcie a derivácie vyšších rádov, pričom sa odvodzuje Leibnizov vzorec pre n-tú deriváciu súčinu dvoch funkcií, analogický s binomickou vetou a Pascalovým trojuholníkom. Ťažiskom prednášky sú základné vety diferenciálneho počtu určené na vyšetrovanie priebehu funkcií, počnúc nutnou podmienkou existencie lokálneho extrému, podľa ktorej má funkcia diferencovateľná vo vnútornom bode lokálneho extrému nulovú deriváciu. Dokazuje sa Rolleho veta o strednej hodnote, ktorá využíva existenciu maxima a minima spojitej funkcie na uzavretom intervale spolu s touto nutnou podmienkou extrému. Na záver sa formuluje, zatiaľ bez dôkazu, Lagrangeova veta o strednej hodnote ako zovšeobecnenie Rolleho vety pre funkciu s rôznymi hodnotami v krajných bodoch.

• Derivácia inverznej funkcie
• Derivácia ako funkcia a derivácie vyšších rádov
• Leibnizov vzorec pre n-tú deriváciu súčinu
• Nutná podmienka existencie lokálneho extrému
• Rolleho veta o strednej hodnote
• Existencia maxima a minima na uzavretom intervale
• Formulácia Lagrangeovej vety o strednej hodnote

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.