15. Limita prevrátenej hodnoty

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje limitu prevrátenej hodnoty ako prvý krok k limite podielu funkcií. Najprv sa formuluje lema: ak má funkcia f v hromadnom bode a vlastnú nenulovú limitu b, existuje okolie bodu a (s možnou výnimkou samotného bodu), v ktorom je f nenulová, a dokonca |f(x)| ≥ d pre nejaké d > 0, teda funkcia je odrazená od nuly. Dôkaz volí ε = |b|/2 v definícii limity a ukazuje, že hodnoty f ležia v intervale neobsahujúcom nulu. Potom veta 5 tvrdí, že 1/f má v bode a limitu 1/b. Dôkaz upravuje rozdiel 1/f(x) − 1/b na |b − f(x)| / (|b|·|f(x)|) a volí ε₁ = ε·|b|·d a δ = min(r, δ₁), aby výraz bol menší ako ε.

• - Limita podielu sa dokazuje postupne; prvým krokom je limita prevrátenej hodnoty.
• - Lema: funkcia s vlastnou nenulovou limitou je v okolí bodu a (okrem a) nenulová.
• - Odrazenosť od nuly: existuje d > 0 tak, že |f(x)| ≥ d v okolí bodu a.
• - Dôkaz lemy používa definíciu limity s ε = |b|/2, vďaka čomu interval (b − |b|/2, b + |b|/2) neobsahuje nulu.
• - Veta 5: ak lim f(x) = b ≠ 0, tak lim 1/f(x) = 1/b.
• - Kľúčová úprava: |1/f(x) − 1/b| = |b − f(x)| / (|b|·|f(x)|), pričom menovateľ sa zdola ohraničí pomocou |b| a d.
• - Voľba δ = min(r, δ₁), kde δ₁ prislúcha ε·|b|·d a r je polomer okolia z lemy.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.