57. Postačujúca podmienka lokálneho extrému

Zhrnutie prednášky

Prednáška uvádza postačujúcu podmienku lokálneho extrému, ktorá umožňuje určiť druh jedného podozrivého bodu bez skúmania monotónnosti na všetkých intervaloch. Ak má funkcia f deriváciu v okolí bodu a a druhú deriváciu v bode a, potom z podmienok f'(a) = 0 a f''(a) > 0 vyplýva lokálne minimum a z f'(a) = 0 a f''(a) < 0 lokálne maximum. Dôkaz využíva pomocnú funkciu g = f', ktorá je v bode a rastúca, preto f' mení znamienko zo záporného na kladné a f je vľavo klesajúca a vpravo rastúca. Veta sa ilustruje na funkcii f(x) = x + 1/x, ktorá má v bode 1 lokálne minimum a v bode −1 lokálne maximum. Ak je druhá derivácia nulová, veta nedáva žiadnu odpoveď.

• - Podmienka umožňuje určiť druh jedného bodu bez sledovania monotónnosti na intervaloch.
• - Predpoklady: f má deriváciu v okolí bodu a a druhú deriváciu v bode a.
• - Ak f'(a) = 0 a f''(a) > 0, funkcia má v bode a lokálne minimum.
• - Ak f'(a) = 0 a f''(a) < 0, funkcia má v bode a lokálne maximum.
• - Dôkaz používa g = f': g je v bode a rastúca, takže f' je vľavo záporná a vpravo kladná.
• - Pri f''(a) = 0 veta nič nehovorí, bod môže a nemusí byť extrémom.
• - Príklad f(x) = x + 1/x: f'(x) = (x² − 1)/x², f''(x) = 2/x³, minimum v x = 1 s hodnotou 2 a maximum v x = −1 s hodnotou −2.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.