48. Derivácia inverznej funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje vetu o derivácii inverznej funkcie: ak je funkcia f rýdzo monotónna na intervale I a má v bode a konečnú nenulovú deriváciu, tak inverzná funkcia má v bode f(a) deriváciu rovnú 1/f'(a). Dôkaz vychádza z definície derivácie ako limity podielu, kde sa t zapíše ako f(x) a využije sa spojitosť inverznej funkcie, takže z f(x) → f(a) vyplýva x → a. Následne sa použije limita prevrátenej hodnoty, ktorá je prípustná vďaka nenulovej derivácii f v bode a. Veta sa aplikuje na odvodenie derivácie funkcie arcus sínus, ktorá je inverzná k zúženému sínusu na intervale (−π/2, π/2). Výsledkom je (arcsin t)' = 1/√(1 − t²) pre t z otvoreného intervalu (−1, 1), pričom v krajných bodoch je derivácia nevlastná.

• - Inverzná funkcia existuje, ak je pôvodná funkcia rýdzo monotónna na intervale.
• - Veta: (f⁻¹)'(f(a)) = 1 / f'(a), ak je f'(a) konečná a nenulová.
• - Dôkaz používa spojitosť inverznej funkcie: z f(x) → f(a) vyplýva x → a.
• - Nenulovosť f'(a) umožňuje použiť vetu o limite prevrátenej hodnoty.
• - Arcus sínus je inverzná funkcia k sínusu zúženému na (−π/2, π/2), kde je kosínus nezáporný.
• - Z identity sin²α + cos²α = 1 vychádza cos(arcsin t) = √(1 − t²).
• - Derivácia arcsin t je 1/√(1 − t²) pre t z (−1, 1); v bodoch ±1 je nevlastná.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.