36. Spojitosť zloženej funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje, že zložená funkcia g∘f je spojitá v bode a, ak je f spojitá v a a g spojitá v bode f(a). Dôkaz sa vedie priamo z epsilon-delta definície: zo spojitosti g sa nájde beta, k nemu zo spojitosti f delta a spojením oboch implikácií vznikne požadovaná nerovnosť. Ďalej sa zavádza spojitosť funkcie na celom definičnom obore, napríklad 1/x je spojitá na svojom definičnom obore, hoci v nule nie je definovaná. Uvádza sa veta, že každá základná elementárna funkcia je spojitá, čo odôvodňuje dosadzovanie do limít. Na ukážku sa dokazuje spojitosť sínusu odhadom |sin x − sin a| ≤ 2|x − a|, kosínus sa odvodí zložením funkcií.

• - Zložená funkcia g∘f je spojitá v bode a, ak f je spojitá v a a g je spojitá v f(a).
• - Dôkaz sa robí z definície epsilon-delta: k epsilon sa nájde beta pre g a k nemu delta pre f.
• - Funkcia je spojitá, ak je spojitá v každom bode svojho definičného oboru.
• - Funkcia 1/x je spojitá na svojom definičnom obore, pretože bod 0 doň nepatrí.
• - Každá základná elementárna funkcia je spojitá, preto možno limity elementárnych funkcií počítať dosadením.
• - Spojitosť sínusu vyplýva z nerovnosti |sin x − sin a| ≤ 2|x − a| a voľby delta = epsilon/2.
• - Kosínus je spojitý ako zložená funkcia cos x = sin(π/2 − x).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.