55. Cauchyho veta

Zhrnutie prednášky

Cauchyho veta o strednej hodnote je zovšeobecnením Lagrangeovej vety a tretím členom trojice s Rolleovou a Lagrangeovou vetou. Ak sú funkcie f a g spojité na uzavretom intervale [a, b], majú deriváciu na otvorenom intervale (a, b) a derivácia g je tam všade nenulová, existuje bod c z (a, b), v ktorom platí f'(c)/g'(c) = (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)). Dôkaz používa Rolleovu vetu na pomocnú funkciu h(x) = (f(b) − f(a))·g(x) − (g(b) − g(a))·f(x), pre ktorú sa priamym dosadením overí h(a) = h(b). Nenulovosť g(b) − g(a) vyplýva sporom: inak by podľa Rolleovej vety mala g' nulu, čo predpoklad zakazuje. Veta sa využije pri dôkaze L'Hospitalovho pravidla.

• - Cauchyho veta zovšeobecňuje Lagrangeovu vetu a patrí k trojici s Rolleovou vetou.
• - Predpoklady: f a g sú spojité na [a, b], diferencovateľné na (a, b) a g'(x) ≠ 0 pre všetky x z (a, b).
• - Tvrdenie: existuje c z (a, b) také, že f'(c)/g'(c) = (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)).
• - Dôkaz používa pomocnú funkciu h(x) = (f(b) − f(a))·g(x) − (g(b) − g(a))·f(x), ktorá spĺňa h(a) = h(b).
• - Z Rolleovej vety existuje c s h'(c) = 0, z čoho po úprave vyplýva požadovaná rovnosť.
• - Delenie výrazom g(b) − g(a) je oprávnené: ak by sa rovnal nule, g by spĺňala Rolleovu vetu a g' by mala nulový bod, čo je spor.
• - Veta slúži na dôkaz L'Hospitalovho pravidla pre limity typu 0/0, pretože bod c leží medzi a a x a pri x → a platí aj c → a.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.