66. Ľahké L´Hospitalovo pravidlo v nevlastnom bode

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje ľahké L'Hospitalovo pravidlo v nevlastnom bode (pre x → +∞). Ak sú funkcie f, g diferencovateľné na intervale (K, +∞), g' je nenulová, obe majú limitu 0 a existuje limita podielu derivácií f'/g' rovná L, potom aj limita f/g je rovná L. Dôkaz nepoužíva epsilon–delta, ale substitúciou t = 1/x prevádza úlohu na pravidlo vo vlastnom bode 0 sprava, pričom sa overujú všetky predpoklady pre zložené funkcie F(t) = f(1/t) a G(t) = g(1/t). Na príklade sa počíta limita x·(π/2 − arctg x) pre x → +∞: súčin sa prepíše na podiel (π/2 − arctg x)/(1/x), aplikuje sa pravidlo a po úprave x²/(1+x²) vychádza limita 1. Z výsledku vyplýva, že funkcia x·arctg x má asymptotu y = (π/2)x − 1.

• - L'Hospitalovo pravidlo platí aj pre limity v nevlastnom bode +∞.
• - Predpoklady: f, g diferencovateľné na (K, ∞), g' ≠ 0, obe limity sú 0 a existuje limita f'/g'.
• - Dôkaz používa substitúciu t = 1/x a prevod na pravidlo vo vlastnom bode 0 sprava.
• - Deriváciu zloženej funkcie tvorí f'(1/t)·(−1/t²), pričom faktor −1/t² sa v podiele vykráti.
• - Súčin x·(π/2 − arctg x) sa prepíše na podiel s 1/x v menovateli, aby sa pravidlo dalo použiť.
• - Limita x·(π/2 − arctg x) pre x → ∞ je 1, výsledok vychádza z podielu x²/(1+x²).
• - Funkcia x·arctg x má asymptotu y = (π/2)x − 1.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.