45. Derivácia súčinu

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje vetu o derivácii súčinu: ak majú funkcie f a g deriváciu v bode a, má ju aj ich súčin a platí (fg)'(a) = f'(a)·g(a) + f(a)·g'(a). Dôkaz vychádza z limity podielu diferencií súčinu, do čitateľa sa pripočíta a odpočíta člen f(a)g(x), limita sa rozdelí na dve derivačné limity a využije sa, že g je v bode a spojitá, keďže tam má deriváciu. Následne sa v príklade ukáže, že derivácia konštantnej funkcie je v každom bode nula. Kombináciou tohto príkladu a vety o súčine sa odvodí veta o derivácii násobku funkcie konštantou: (k·f)'(a) = k·f'(a).

• - Derivácia súčinu: (fg)'(a) = f'(a)·g(a) + f(a)·g'(a).
• - Dôkaz používa trik s pripočítaním a odpočítaním člena f(a)g(x) v čitateli.
• - Limita sa rozdelí na dve derivačné limity, existencia všetkých limít sa overí priebežne.
• - Funkcia s deriváciou v bode je v tom bode spojitá, preto lim g(x) = g(a).
• - Derivácia konštantnej funkcie je v každom bode rovná nule.
• - Derivácia násobku: (k·f)'(a) = k·f'(a), konštanta sa dá vyňať.
• - Veta o násobku vyplýva z vety o súčine a z derivácie konštanty.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.