42. Rovnomerná spojitosť

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza rovnomernú spojitosť funkcie na neprázdnej množine M ako silnejšiu verziu spojitosti: ku každému ε musí existovať jedna delta platná pre všetky dvojice bodov x, y z M naraz, nielen pre fixovaný bod. Na príkladoch sa ukazuje, že funkcia x² je rovnomerne spojitá na intervale (−3, 3), pretože |x² − y²| ≤ 6·|x − y|, a teda stačí δ = ε/6. Funkcia 1/x je na (0, 1) spojitá, ale nie rovnomerne spojitá, čo sa dokazuje negáciou definície s ε = 1 a voľbou bodov y = δ, x = δ/2. Na záver sa dokazuje veta, že spojitá funkcia na kompaktnej množine je rovnomerne spojitá, a to sporom s využitím vybraných konvergentných podpostupností x_n a y_n s rovnakými indexmi.

• - Rovnomerná spojitosť: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈M: |x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε.
• - Oproti spojitosti v bode sa môžu hýbať oba body a delta musí byť rovnaká pre všetky dvojice z M.
• - Funkcia x² je rovnomerne spojitá na (−3, 3): |x²−y²| ≤ 6|x−y|, stačí δ = ε/6.
• - Funkcia 1/x je spojitá na (0, 1), ale nie rovnomerne spojitá, lebo pri nule príliš rýchlo rastie.
• - Negácia definície: ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x,y∈M: |x−y|<δ a |f(x)−f(y)|≥ε.
• - Veta: spojitá funkcia na kompaktnej množine je rovnomerne spojitá.
• - Dôkaz vety sporom: voľba δ=1/n a výber podpostupností x_n, y_n konvergujúcich s rovnakými indexmi.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.