51. Derivácia kladná - funkcia rastie v bode

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára kapitolu o základných vetách diferenciálneho počtu a zavádza pojmy funkcie rastúcej a klesajúcej v bode ako lokálnu vlastnosť: na nejakom okolí bodu a majú body vľavo menšie a body vpravo väčšie funkčné hodnoty než f(a), resp. naopak. Následne sa dokazuje veta, že ak má funkcia v bode a konečnú kladnú deriváciu, je v tomto bode rastúca. Dôkaz využíva definíciu limity s epsilonom rovným polovici derivácie, z čoho vyplýva kladnosť diferenčného podielu na okolí bodu. Opačná implikácia neplatí, čo ilustruje funkcia f(x) = x³, ktorá je rastúca v bode 0, hoci jej derivácia je tam nulová. Ako úloha sa zadáva sformulovať a dokázať analogickú vetu pre klesajúcu funkciu.

• - Funkcia je rastúca v bode a, ak na nejakom okolí a platí: x < a < y implikuje f(x) < f(a) < f(y).
• - Klesajúca v bode a sa definuje analogicky s obrátenými nerovnosťami pre funkčné hodnoty.
• - Veta: ak f'(a) existuje, je konečná a kladná, potom f je v bode a rastúca.
• - Dôkaz: pre ε = d/2 je diferenčný podiel na okolí bodu kladný, takže znamienka čitateľa a menovateľa sa zhodujú.
• - Opačná implikácia neplatí: f(x) = x³ je rastúca v bode 0, ale f'(0) = 0.
• - Úloha: sformulovať a dokázať vetu o zápornej derivácii a klesajúcosti v bode.
• - Nasledujúca téma: kde môže mať funkcia lokálny extrém.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.