32. Hromadná hodnota postupnosti

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza hromadnú hodnotu postupnosti ako zovšeobecnenie limity, ktoré je užitočné pre postupnosti bez limity, napríklad 1, 2, 1, 2, … Najprv sa definuje podpostupnosť pomocou rastúceho zobrazenia indexov a následne hromadná hodnota ako limita niektorej podpostupnosti. Ekvivalentne ide o bod, v ktorého každom okolí leží nekonečne veľa členov postupnosti. Hlavným výsledkom je veta, že každá postupnosť má aspoň jednu hromadnú hodnotu. Dôkaz rozlišuje neohraničenú postupnosť (hromadná hodnota ±∞) a ohraničenú, kde sa zavedú suprema b_n = sup{a_k; k > n}. Postupnosť b_n je nerastúca a zdola ohraničená, preto má limitu L, ktorá sa ukáže ako hromadná hodnota pôvodnej postupnosti.

• - Podpostupnosť vzniká výberom členov pomocou rastúceho zobrazenia indexov, napr. b_n = a_{2n}.
• - Hromadná hodnota je limita niektorej podpostupnosti danej postupnosti.
• - Ekvivalentne: v každom okolí hromadnej hodnoty leží nekonečne veľa členov postupnosti.
• - Postupnosť 1, 2, 1, 2, … nemá limitu, ale má dve hromadné hodnoty, 1 a 2.
• - Hromadná hodnota postupnosti sa líši od hromadného bodu množiny, lebo členy sa môžu opakovať.
• - Každá postupnosť má aspoň jednu hromadnú hodnotu; neohraničená má ±∞.
• - Pri ohraničenej postupnosti je b_n = sup{a_k; k > n} nerastúca a zdola ohraničená, jej limita L je hromadnou hodnotou.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.