10. Jednoznačnosť limity

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje dve vety o limite funkcie. Prvá hovorí o jednoznačnosti limity: funkcia nemôže mať v jednom bode dve rôzne limity, vlastné ani nevlastné. Dôkaz sporom pre dve rôzne reálne čísla b, c volí ε = |b − c|/10, využije obe definície limity pre bod z prieniku okolí a trojuholníkovou nerovnosťou dostane |b − c| ≤ |b − c|/5, čo je spor. Prípady s nekonečnom sa vyvrátia rýchlejšie, pretože hodnoty funkcie by museli byť súčasne v páse okolo b a nad ľubovoľne veľkou hranicou. Druhá veta tvrdí, že funkcia s vlastnou limitou v bode a je ohraničená na nejakom okolí tohto bodu; dôkaz volí ε = 1, takže f(x) leží medzi b − 1 a b + 1, pričom hodnota f(a) ohraničenosť nepokazí.

• - Limita funkcie v bode je určená jednoznačne, dva rôzne body nemôžu byť limitou tej istej funkcie v tom istom bode.
• - Dôkaz jednoznačnosti je sporom: predpokladá sa limita b aj c, pričom b ≠ c.
• - Pre reálne b ≠ c sa volí ε = |b − c|/10 a použije sa bod z prieniku oboch okolí bodu a.
• - Trojuholníková nerovnosť dá |b − c| ≤ |b − c|/5, čo je spor s kladnosťou |b − c|.
• - Prípady, keď je aspoň jedna limita nekonečná, vedú k sporu ešte rýchlejšie.
• - Funkcia s vlastnou limitou v bode a je ohraničená na nejakom okolí bodu a.
• - Dôkaz ohraničenosti využíva ε = 1, z čoho b − 1 < f(x) < b + 1, a hodnota f(a) môže hranice posunúť len o jedno číslo.
• - Úloha 5: sformulovať a dokázať vetu o jednoznačnosti limity postupnosti.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.