Matematická Analýza 1 - Veta o troch limitách - Limity monotónnych funkcií | Prednáška 8

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje vetu o troch limitách, takzvanú sendvičovú vetu, podľa ktorej funkcia stlačená medzi dvomi funkciami so spoločnou limitou má tú istú limitu, pričom stačí, aby nerovnosť platila len na prstencovom okolí bodu. Táto veta sa aplikuje na dôkaz limity sin x lomeno x rovnej jednej pomocou geometrickej úvahy na jednotkovej kružnici a na odvodenie súvisiacej limity s logaritmom cez substitúciu. Ďalej sa rozoberajú limity monotónnych postupností a funkcií, kde neklesajúca a zhora ohraničená postupnosť alebo funkcia má konečnú limitu rovnú supremu jej hodnôt, prípadne limitu nekonečno, ak ohraničená nie je. Zavádza sa pojem jednostrannej limity, teda limita zľava a sprava, ako limita zúženia funkcie na jednu stranu bodu, spolu so vzťahom medzi obojstrannou limitou a zhodou oboch jednostranných limít. Na záver sa začína motivácia a dôkaz existencie Eulerovho čísla e ako limity postupnosti jedna plus jedna lomeno n na n-tú, s historickým kontextom výpočtu plochy pod hyperbolou.

• Veta o troch limitách, sendvičová veta, a jej dôkaz
• Limita sin x lomeno x rovná jednej dokázaná geometricky
• Limity neklesajúcich a nerastúcich ohraničených postupností a funkcií
• Limita ako supremum alebo infimum hodnôt
• Jednostranná limita zľava a sprava
• Vzťah medzi obojstrannou limitou a jednostrannými limitami
• Eulerovo číslo e ako limita postupnosti jedna plus jedna lomeno n na n-tú

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.