09. Limita funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza všeobecnú definíciu limity funkcie cez okolia bodov, ktorú treba vedieť naspamäť, a pripomína, že kvôli nekonečnu existuje deväť jej variantov. Pre najdôležitejší prípad, keď sú a aj b reálne čísla, formuluje epsilon-delta definíciu (definícia 6) pre hromadný bod a definičného oboru. Študenti dostávajú za úlohu zapísať ostatné definície pomocou kvantifikátorov. V príklade 6 sa dokazuje, že limita funkcie 1/x v bode 1/2 je rovná 2. Dôkaz využíva geometrickú predstavu s grafom a odhad výrazu |1/x − 2| = |x − 1/2| / (½·|x|) zhora ôsmimi násobkami |x − 1/2| pri δ < 1/4, a preto sa zvolí δ = min{1/4, ε/8}.

• - Všeobecná definícia limity: pre každé okolie bodu b existuje okolie bodu a, ktorého body (x ≠ a) sa zobrazia do okolia b.
• - Keďže a aj b môžu byť reálne čísla alebo nekonečno, existuje 9 variantov definície limity.
• - Definícia 6 (a, b reálne): ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D(f), x≠a: |x−a|<δ ⇒ |f(x)−b|<ε.
• - Hodnota funkcie v bode pre limitu nie je podstatná, dôležité je správanie v okolí bodu.
• - Pri dôkaze limity 1/x v bode 1/2 sa výraz |1/x − 2| prepíše na |x − 1/2| / (½·|x|).
• - Voľbou δ < 1/4 sa zabezpečí, že x leží v (1/4, 3/4), a teda 1/(½·|x|) < 8.
• - Zvolí sa δ = min{1/4, ε/8}, čím je |1/x − 2| < ε a limita je dokázaná.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.