18. Limita zloženej funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje vetu o limite zloženej funkcie. Ak má vnútorná funkcia g v bode a vlastnú limitu b, b je hromadným bodom definičného oboru vonkajšej funkcie f, v nejakom okolí bodu a platí g(x) ≠ b pre x ≠ a a f má v bode b vlastnú limitu c, potom aj f∘g má v bode a limitu c. Dôkaz sa vedie cez epsilon-delta definíciu: z limity f sa zvolí alfa, tá sa použije ako epsilon pre limitu g a delta sa prípadne zmenší na polomer okolia, kde g(x) ≠ b. Následne sa uvádza veta o limitách elementárnych funkcií, podľa ktorej sa limita v hromadnom bode definičného oboru počíta dosadením. Použitie je ukázané na príklade limity (x^(3/2) − 1)/(x − 1) pre x→1, ktorá sa substitúciou t = √x prevedie na limitu (t³ − 1)/(t² − 1) a vychádza 3/2.

• - Veta o limite zloženej funkcie: lim g(x) = b, lim f(t) = c pre t→b implikuje lim f(g(x)) = c pre x→a.
• - Nutný predpoklad: g(x) ≠ b pre x ≠ a v nejakom okolí bodu a, a b je hromadný bod definičného oboru f.
• - Dôkaz cez epsilon-delta: limita f dáva alfa, limita g pre alfa dáva deltu, ktorá sa v prípade potreby zmenší na okolie z predpokladu.
• - Limita elementárnej funkcie v hromadnom bode svojho definičného oboru sa počíta dosadením (dôkaz neskôr cez spojitosť).
• - Príklad: substitúciou t = √x sa limita (x^(3/2) − 1)/(x − 1) pre x→1 prevedie na (t³ − 1)/(t² − 1).
• - Po rozklade a vykrátení (t − 1) dostaneme (t² + t + 1)/(t + 1) a výsledok 3/2.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.