50. Derivácie vyšších rádov súčinu funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje deriváciám vyšších rádov súčinu funkcií. Pri súčte sa n-tá derivácia rozkladá triviálne na súčet n-tých derivácií, pri súčine je situácia zložitejšia a pripomína umocňovanie dvojčlena. Veta 12, Leibnizov vzorec, tvrdí, že n-tá derivácia súčinu fg v bode a je súčet členov s kombinačnými číslami n nad k, násobenými deriváciou f rádu n−k a deriváciou g rádu k. Dôkaz prebieha matematickou indukciou: pre n = 0 a n = 1 vzorec platí, v indukčnom kroku sa vzorec zderivuje a členy sa spoja pomocou sčítacieho pravidla pre kombinačné čísla. Vzorec sa potom použije na výpočet 2020. derivácie funkcie x·ln(1 − x²) v bode 0, kde pre g(x) = x zostávajú nenulové len prvé dva členy a pre g(0) = 0 dokonca len jeden.

• - Derivácia súčtu funkcií sa rozkladá na súčet derivácií, to platí aj pre n-tú deriváciu.
• - Druhá derivácia súčinu dáva f''g + 2f'g' + fg'', čo sa podobá na umocnenie dvojčlena.
• - Leibnizov vzorec: (fg)^(n)(a) = Σ C(n,k) · f^(n−k)(a) · g^(k)(a).
• - Dôkaz sa robí matematickou indukciou, v kroku n → n+1 sa využíva sčítacie pravidlo C(n,k) + C(n,k−1) = C(n+1,k).
• - Ak je jedna z funkcií lineárna, napr. g(x) = x, ostáva vo vzorci len niekoľko nenulových členov.
• - Príklad: 2020. derivácia funkcie x·ln(1 − x²) v bode 0 vychádza ako 2020 · (ln(1 − x²))^(2019)(0).
• - Logaritmus súčinu sa rozloží na ln(1 − x) + ln(1 + x) a využije sa výsledok z predchádzajúceho príkladu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.