47. Derivácia zloženej funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza vetu o derivácii zloženej funkcie: ak má vnútorná funkcia g deriváciu v bode a a vonkajšia funkcia f deriváciu v bode g(a), potom (f∘g)'(a) = f'(g(a))·g'(a). Dôkaz vychádza z definície derivácie ako limity, kde sa podiel rozšíri o výraz g(x) − g(a) a rozloží na súčin dvoch limít. Pri prvej limite sa využíva substitúcia t = g(x) a spojitosť g v bode a, druhá limita je priamo g'(a). V závere prednášky sa ukazuje, ako vznikajú derivácie elementárnych funkcií z limity: pre x^7 pomocou rozkladu na súčin a pre x^π pomocou exponenciálnej substitúcie a známych limít (e^s − 1)/s a ln(1+u)/u, čím vychádza π·a^(π−1).

• - Derivácia zloženej funkcie: (f∘g)'(a) = f'(g(a))·g'(a).
• - Predpoklady: g je diferencovateľná v bode a a f je diferencovateľná v bode g(a).
• - Dôkaz rozšíri podiel o g(x) − g(a) a použije vetu o súčine limít.
• - Diferencovateľnosť g v bode a zaručuje jej spojitosť, takže g(x) → g(a) a substitúcia t = g(x) je korektná.
• - Derivácia x^7 sa odvodí rozkladom x^7 − a^7 a vyjde 7a^6.
• - Derivácia x^π sa odvodí substitúciou t = x/a, vyjadrením t^π = e^(π ln t) a limitami (e^s − 1)/s → 1 a ln(1+u)/u → 1.
• - Výsledok (x^π)' = π·x^(π−1) zodpovedá všeobecnému pravidlu pre mocninové funkcie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.