11. Limita súčtu

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára kapitolu o vetách o limitách, ktoré uľahčujú určovanie limít oproti počítaniu priamo z definície. Najprv sa z definície dokáže, že konštantná funkcia f(x) = c má v každom bode a ∈ R* limitu c, pretože implikácia je pravdivá pri ľubovoľnej voľbe delty, resp. k. Potom sa formuluje veta o limite súčtu: ak majú funkcie f, g v hromadnom bode a prieniku definičných oborov vlastné limity b a c, má f + g v bode a vlastnú limitu b + c. Dôkaz sa vedie cez ε/2: pre každú funkciu sa nájde δ_f a δ_g, zvolí sa δ = min(δ_f, δ_g) a pomocou trojuholníkovej nerovnosti sa odhadne |f(x) + g(x) − b − c| < ε. Vety sa formulujú pre a ∈ R*, no dokazujú sa len pre reálne a, lebo je to najťažší prípad.

• - Konštantná funkcia f(x) = c má v každom bode a ∈ R* limitu c, aj v ±∞.
• - Pri konštantnej funkcii je ľubovoľná voľba δ (alebo k) vhodná, lebo |c − c| = 0 < ε.
• - Vety o limitách sa formulujú pre a ∈ R*, ale dokazujú sa len pre reálne a.
• - Veta o limite súčtu: lim (f + g) = lim f + lim g, ak obe limity existujú a sú vlastné.
• - Bod a musí byť hromadným bodom prieniku definičných oborov D(f) ∩ D(g).
• - Dôkaz využíva ε/2 pre každú funkciu a voľbu δ = min(δ_f, δ_g).
• - Kľúčový krok je trojuholníková nerovnosť: |f(x) − b + g(x) − c| ≤ |f(x) − b| + |g(x) − c| < ε.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.