56. Monotónnosť na intervale pomocou derivácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška rozoberá vetu o monotónnosti na intervale pomocou derivácie: ak je funkcia spojitá na intervale a má v každom jeho vnútornom bode kladnú deriváciu, je na ňom rastúca, ak zápornú, je klesajúca. Dôkaz prvej možnosti využíva Lagrangeovu vetu o strednej hodnote na uzavretom intervale medzi dvoma ľubovoľnými bodmi, pričom z kladného podielu prírastkov vyplýva usporiadanie funkčných hodnôt. Veta tak mení lokálnu informáciu o smernici dotyčníc na globálnu vlastnosť na celom intervale. Následne sa rieši príklad funkcie f(x) = x²·e^(−x): derivácia f'(x) = x(2 − x)e^(−x) má nulové body 0 a 2, a podľa znamienka derivácie na troch intervaloch funkcia klesá, rastie a klesá. Z toho vyplýva lokálne (aj globálne) minimum v bode 0 a lokálne maximum v bode 2.

• - Ak f'(x) > 0 vo všetkých vnútorných bodoch intervalu a f je spojitá na I, f je na I rastúca.
• - Ak f'(x) < 0 vo všetkých vnútorných bodoch intervalu, f je na I klesajúca.
• - Dôkaz sa opiera o Lagrangeovu vetu: f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) s kladným f'(c) a b − a, preto f(b) > f(a).
• - Veta zo znamienka derivácie (lokálna informácia) odvodzuje monotónnosť na celom intervale (globálna vlastnosť).
• - Pre f(x) = x²e^(−x) je f'(x) = x(2 − x)e^(−x), nulové body sú 0 a 2.
• - Funkcia klesá na (−∞, 0), rastie na (0, 2) a klesá na (2, ∞).
• - V bode 0 je lokálne (aj globálne) minimum s hodnotou 0, v bode 2 lokálne maximum (hodnota približne 0,54).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.